整数值多项式 证明$f_p\notin (f_1,\ldots,f_{p-1})$

hbghlyj

设 $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ 为所有在整数点取整数值的有理系数多项式的集合。
例如，$f_1=x, f_2=\frac{x(x-1)}2,\dots,f_n=\binom{x}{n},\dots$ 都在 $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ 中。
$(f_1)=\{f_1g_1\mid g_1\in \operatorname{Int}(\mathbb{Z})\}$
$(f_1, f_2)=\{f_1g_1+f_2g_2\mid g_1,g_2\in \operatorname{Int}(\mathbb{Z})\}$
$(f_1, f_2, f_3)=\{f_1g_1+f_2g_2+f_3g_3\mid g_1,g_2,g_3\in \operatorname{Int}(\mathbb{Z})\}$
$\cdots$

这个回答证明了对于任何素数，$f_p\notin (f_1,\ldots,f_{p-1})$.

hbghlyj

反证法，假设$f_{p}=f_1g_1+\cdots+f_{p-1}g_{p-1}$ 对于某些多项式 $g_i\in \operatorname{Int}(\mathbb{Z})$.
其中$f_1=x,f_2=\frac{x(x-1)}2,\dots$
$$f_i=\frac{x(x-1)\dots(x-i+1)}{i!}$$
设 $a_i=g_i(0)\in \mathbb{Z}$ 对于 $i=1,\ldots,p-1$.
所以$f_i$的常数项为0，$x^1$系数为$(-1)^{i-1}\frac1i$.
所以$f_ig_i$的$x^1$系数为$a_i(-1)^{i-1}\frac1i$.

我们有 $f_{p}=f_1g_1+\cdots+f_{p-1}g_{p-1}$ 被$x^2$整除。
所以 $f_{p}=f_1g_1+\cdots+f_{p-1}g_{p-1}$ 的 $x^1$系数为0.
得到$$\frac1p-a_1\frac11+a_2\frac12-\dots+a_{p-1}\frac1{p-1}=0$$
$\implies\frac{(p-1)!}{p}\in \mathbb{Z}$ 这是一个矛盾。

hbghlyj

对于任意素数$f_p\notin (f_1,\ldots,f_{p-1})$，
因此$(f_1)\subsetneq(f_1,f_2)\subsetneq(f_1,f_2,f_3)\subsetneq(f_1,\dots,f_5)\subsetneq(f_1,\dots,f_7)\dots$是永远增加的Ascending chain
这证明了$\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$是一个非诺特环。
而$\mathbb{Z}[x]\subseteq\operatorname{Int}(\mathbb{Z})\subseteq\mathbb Q[x]$，其中$\mathbb{Z}[x]$、$\mathbb{Q}[x]$都是诺特环。

“诺特环”的漫画：图中的数学家是诺特，左侧是她的论文中的Ascending chain of ideals $I_1\subsetneq I_2\subsetneq \dots$
下方的Ascending chain condition是“诺特环”的充要条件。
tumblr.com/lthmath/668380011408064512/noethember-day-20-a-noetherian-ring-is-a-ring

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-12-9 03:36
左侧是她的论文中的Ascending chain of ideals $I_1\subsetneq I_2\subsetneq \dots$
下方的Ascending chain condition是“诺特环”的充要条件。

在她的论文Idealtheorie in Ringbereichen第30页。她称之为“有限链定理”(Satz von der endlichen Kette)。

续第31页：