求证存在满足条件的$X$的子集$P,Q$（与偶子集有关）

abababa

定义：若集合$X$的子集$A$的元素数量是偶数，则称$A$是$X$的偶子集。

题目：设$X$是有限集，$c>0$为常数，映射$f: \text{$X$的偶子集}\to\mathbb{R}$满足：
1.对$X$的任意两个不相交的偶子集$A,B$都有$f(A\cup B)=f(A)+f(B)-c$。
2.存在$X$的偶子集$D$满足$f(D)>c$。

求证存在$X$的子集$P,Q$满足
1.$P\cup Q=X, P\cap Q=\varnothing$。
2.对$P$的任意非空偶子集$S$都有$f(S)>c$。
3.对$Q$的任意偶子集$T$都有$f(T)\le c$。

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网友发来的证明，看了一下觉得是对的。
设集族$\tilde{P} = \{P: \text{$P$是$X$的偶子集}\}$，再令$\bar{P} = \{P \in \tilde{P}: \text{对任意的$A \in \tilde{P}$都有$f(P) \ge f(A)$}\}$，再令$\mathcal{P} = \{P \in \bar{P}: \text{对任意的$A \in \bar{P}$都有$\abs{A} \ge \abs{P}$}\}$，注意$X$是有限集，因此$\mathcal{P}$定义良好。取$P \in \mathcal{P}$，再令$Q = X \setminus P$。显然$P \cup Q = X, P \cap Q = \varnothing$。由定义知$P \in \mathcal{P} \subseteq \bar{P} \subseteq \tilde{P}$，从而$P$是$X$的偶子集。

对$P$的任意非空偶子集$S$，注意$P,S$都是$X$的偶子集且$S \subseteq P$，因此$(P \setminus S)$也是$X$的偶子集。由于$S \cap (P \setminus S) = \varnothing$，所以
\[f(P) = f(S \cup (P \setminus S)) = f(S)+f(P \setminus S)-c\]

由于$P, (P \setminus S) \in \tilde{P}$，但还有$P \in \bar{P}$，由$\bar{P}$的定义知$f(P) \ge f(P \setminus S)$，再从上式可得$f(S) \ge c$。

假设$f(S) = c$，则$f(P) = f(P \setminus S)$。由于$P \in \bar{P}$，由$\bar{P}$的定义知，对任意的$A \in \tilde{P}$都有$f(P) \ge f(A)$，即对任意的$A \in \tilde{P}$都有$f(P \setminus S) \ge f(A)$，再由$\bar{P}$的定义知$(P \setminus S) \in \bar{P}$，而$P \in \mathcal{P}$，从而由$\mathcal{P}$的定义知$\abs{P \setminus S} \ge \abs{P}$，但$S \neq \varnothing$，矛盾，所以$f(S) \neq c$，因此$f(S) > c$。

对$Q$的任意偶子集$T$，由于$P,T$都是$X$的偶子集，而$P \cap Q = \varnothing, T \subseteq Q$，因此$P \cap T = \varnothing$，所以
\[f(P \cup T) = f(P)+f(T)-c\]

注意$P \cup T$也是$X$的偶子集，因此$P, (P \cup T) \in \tilde{P}$，但$P \in \bar{P}$，由$\bar{P}$的定义知$f(P) \ge f(P \cup T)$，再从上式可得$f(T) \le c$。