一个看似优美的不等式链

青青子衿

$x\in N_+$
$\frac{1}{2^{x+2}}<\dfrac{1}{2^x+3^{-x}}-\dfrac{1}{3^x+2^{-x}}<2^{-x}-3^{-x}<\dfrac{1}{2^x-3^{-x}}-\dfrac{1}{3^x-2^{-x}}<\frac{1}{2^{x}}$

007

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佩服发现者

青青子衿

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007 发表于 2013-12-7 13:59

请写出详细步骤，谢谢！
这种题作差解决，怎样？

其妙

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将$x$写成$n$多好啊！像是数列不等式放缩的前奏?
$\dfrac{1}{2^{n+2}}<\dfrac{1}{2^n+3^{-n}}-\dfrac{1}{3^n+2^{-n}}<2^{-n}-3^{-n}<\dfrac{1}{2^n-3^{-n}}-\dfrac{1}{3^n-2^{-n}}<\dfrac{1}{2^{n}}
$