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设函数 `y=F(x)`, `y=G(x)` 的定义域均为 `\mbb R`，值域分别为 `A`, `B`，且 `A\cap B=\kongji`。
若集合 `S` 满足以下两个条件：
（1）`A\cup B\subseteq S`；
（2）`\buji_S(A\cup B)` 是有限集。
则称 `y=F(x)` 和 `y=G(x)` 是 `S`-互补函数。
给出以下两个命题：
① 存在函数 `y=f(x)`，使得 `y=2^{f(x)}` 和 `y=\log_2f(x)` 是 `[0,16]`-互补函数；
② 存在函数 `y=g(x)`，使得 `y=\sin f(x)` 和 `y=\tan f(x)` 是 `[0,+\infty)`-互补函数。
则（ ）
A. ①②都是真命题
B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题
D. ①②都是假命题
显然 ① 只要 `f(x)` 的值域为 `(1,4)` 就满足条件，命题为真。（当然 `[1,4)` 或 `(1,4]` 也行）
而 ② 通过画图来判断也不算难想，就是对我这种必须严格写证明的，表达起来就有点麻烦。
构造数列 `\an` 满足：`a_1=\pi/2`，对 `n\inN^+` 有 `a_n\in(0,\pi/2]` 且 `\sin a_n=\tan a_{n+1}`。
下面证明 `\an` 递减且极限为零。
熟知当 `x\in(0,\pi/2)` 时有 `\tan x>x>\sin x`，所以 `a_n>\sin a_n=\tan a_{n+1}>a_{n+1}`，即递减，而显然数列有无穷项，且有下界，则根据单调有界定理可知该数列必存在极限，设极限为 `u`，则对递推式令 `n\to+\infty` 就有 `\sin u=\tan u`，那只能 `u=0`，即极限为零。
回到原题，记 `b_n=\sin a_n`，则 `\tan a_n=b_{n-1}`。
当 `t\in[a_2,a_1)` 时有
\begin{align*}
\sin t&\in[b_2,b_1),\\
\tan t&\in[\tan a_2,+\infty)=[b_1,+\infty);
\end{align*}
当 `t\in[a_{2i},a_{2i-1})`（`i\geqslant2`）时有
\begin{align*}
\sin t&\in[b_{2i},b_{2i-1}),\\
\tan t&\in[\tan a_{2i},\tan a_{2i-1})=[b_{2i-1},b_{2i-2}),
\end{align*}
那么当 `t\in[a_2,a_1)\cup[a_4,a_3)\cup\cdots\cup[a_{2n},a_{2n-1})` 时，`\sin t` 与 `\tan t` 的值域没有交集，且它们的并集为
\[[b_{2n},b_{2n-1})\cup[b_{2n-1},b_{2n-2})\cup\cdots\cup[b_2,b_1)\cup[b_1,+\infty)=[b_{2n},+\infty),\]
令 `n\to+\infty`，前面已经证明了 `a_n\to0`，因此 `b_{2n}\to0`，此时 `[b_{2n},+\infty)=(0,+\infty)`。
所以，只要取 `g(x)` 使其值域为
\[\bigcup_{i=1}^{+\infty}[a_{2i},a_{2i-1}),\]
则 `y=\sin g(x)` 的值域 `A` 与 `y=\tan g(x)` 的值域 `B` 就满足
\[A\cap B=\kongji,~A\cup B=(0,+\infty)\subset[0,\infty),~\buji_{[0,+\infty)}(A\cup B)=\{0\},\]
满足所有要求，命题为真。 |
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