三角函数 10°

hbghlyj

$\cos (\pi / 18)$ 和 $\sin (\pi / 18)$ 的精确值可以通过无限嵌套根式给出
\[
\sin \left(\frac{\pi}{18}\right)=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\ldots}}}}
\]
其中符号序列$+,+,-$以周期 3 重复，并且
\[
\cos \left(\frac{\pi}{18}\right)=\frac{1}{6} \sqrt{3}(\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\ldots}}}}+1)
\]
其中符号序列$-, -, +$以周期 3 重复。

hbghlyj

Nest[Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + #1]]] & , 0, 4]

Nest[Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + #1]]] & , 0, 7]

ListLinePlot[NestList[Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + #1]]] & , 0, 15]]

ListLinePlot[Drop[NestList[Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + #1]]] & , 0, 15], 1]]

会收敛到$2\sin\frac\pi{18}$=0.34729635533386066…
证明
函数$f(x)=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}},$
Wolfram
$\max|f'|<1$，所以$f$为contraction mapping.
由 Banach fixed-point theorem得出

• $f:[0,1]\to[0,1]$ 存在唯一的不动点 $x^*$
• 且 $f\circ\dots\circ f(x_0)\to x^*$ 对任意$x_0\in[0,1]$
  

---

求出 $f$ 的不动点 $x^*=2\sin\frac{\pi}{18}$

Wolfram

kuing

sin10° 的以前讨论过了：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5138

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-12-20 14:07
\[\cos \left(\frac{\pi}{18}\right)=\frac{1}{6} \sqrt{3}(\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\ldots}}}}+1)\]

证明
$f(x)=\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+x}}}$

$\max|f'|<1$，所以$f$为contraction mapping.
由 Banach fixed-point theorem 得出

• $f:[2,3]\to[2,3]$ 存在唯一的不动点 $x^*$
• 且 $f\circ\dots\circ f(x_0)\to x^*$ 对任意$x_0\in[2,3]$
  

---

求出 $f$ 的不动点 $x^*=2 \sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{18}\right)-1$

Wolfram

hbghlyj

sin(6°), cos(6°) 是否可以通过有理数的无限循环嵌套根式给出