高一怎么凑个简单的不等式

realnumber

已知,$a>0,b>0$,$\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$,求证:$\frac{3}{a+1}+\frac{1}{b+1}\le \frac{4}{5}$

暂时只会笨办法，消去b,a>3,左边用判别式去解，得到a=4,b=4取等,有没凑个不等式的办法？

Aluminiumor

$$
\begin{align*}
&\frac{3}{a+1}+\frac{1}{b+1}\\
=&4-\frac{3a}{a+1}-\frac{b}{b+1}\\
=&4-\frac{3^2}{3(\frac1a+1)}-\frac{1^2}{\frac1b+1}\\
\leq&4-\frac{(3+1)^2}{3(\frac1a+1)+(\frac1b+1)}\\
=&\frac45
\end{align*}
$$

kuing

也可以换元，令 x=3/a, y=1/b ，或许学生更容易接受