相交弦定值

Zach

设AB为一单位圆的直径，M , N为此单位圆上异于A, B的两点。
若AM 交BN 于P点，证明：AP * AM + BP * BN 的值为 4 。

kuing

如果 AP * AM + BP * BN 里的各项都只是线段长度，则应该限制 M、N 在 AB 的同一侧。
（如果是表示向量的数量积，则无需限制）

hejoseph

这个用三角函数就很容易证明了。若点 $M$、$N$ 在 $AB$ 同侧，设 $\angle PAB=\alpha$，$\angle PBA=\beta$，则 $AM=2\cos\alpha$，$BM=2\cos\beta$，再用正弦定理得 $AP=\dfrac{2\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$，$BP=\dfrac{2\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$，则
\[
AP\cdot AM+BP\cdot BM=4\cdot\frac{\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=4
\]

Zach

kuing 发表于 2025-1-13 13:44
如果 AP * AM + BP * BN 里的各项都只是线段长度，则应该限制 M、N 在 AB 的同一侧。
（如果是表示向量的数 ...

请问如何证明向量版本？