包含曲线的所有切线

hbghlyj

《The theory of ruled surfaces》第4页说：曲线$\frac{x_0}{x_1}=\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_3}{x_4}$的所有切线组成曲面$x_0 x_4-4 x_1 x_3+3 x_2^2=0$，如何证明呢

hbghlyj

曲线上的一个点可以写成$(\theta^4,\theta^3,\theta^2,\theta,1)$
该点处的切线可以参數化為$\left(\theta^4+4\lambda \theta^3, \theta^3+3\lambda \theta^2,\theta^2+2\lambda\theta, \theta+\lambda , 1\right)$，其中$\lambda$为参数。
现在需要消去$\theta,\lambda$，怎么消去呢？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-15 09:38
现在需要消去$\theta,\lambda$，怎么消去呢？

通过使用ExtendedGroebnerBasis，我知道了！

有恒等式：
\begin{align*}
x_0+3x_2^2-4x_1x_3&= \left(x_0-\theta ^4-4 \theta ^3 \lambda\right)\\&+4 x_3 \left(\theta ^3+3 \theta ^2 \lambda -x_1\right)
\\&-3 \left(-\lambda ^2+x_2+x_3^2\right) \left(\theta ^2+2 \theta  \lambda -x_2\right)\\
&+\left(\theta ^3+3 \theta ^2 \lambda -6 \theta  \lambda ^2+3 \theta  x_2+3 \lambda  x_2+3 x_2 x_3-3 \theta ^2 x_3-6 \theta  \lambda  x_3\right)(\theta +\lambda -x_3) \end{align*}
因此，当$\cases{x_0-\theta ^4-4 \theta ^3 \lambda=0\\\theta ^3+3 \theta ^2 \lambda -x_1=0\\\theta ^2+2 \theta  \lambda -x_2=0\\\theta +\lambda -x_3=0}$时，必有$x_0+3x_2^2-4x_1x_3=0$

青青子衿

不知道是否与这些曲面有某种关系？
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