将圆锥展开到一个平面 则圆锥截面曲线被展开到什么曲线？

hbghlyj

kuing 发表于 2018-1-28 10:57
平面斜截圆锥的展开图，多想将《撸题集》第533~534页的内容贴过去...

青青子衿 发表于 2018-9-17 06:01
Generalized conic

给定一个圆锥曲线，通过选择圆锥曲线的一个焦点作为极点，并将通过极点且平行于圆锥曲线的准线的直线作为极轴，圆锥曲线的极坐标方程可以写成以下形式：
$$ r={\frac {ed}{1+e\sin \theta }} $$
这里 e 是圆锥曲线的离心率，d 是准线到极点的距离。Tom M. Apostol 和 Mamikon A. Mnatsakanian 在他们对在直圆锥表面上绘制曲线的研究中引入了一类新的曲线，他们称之为广义圆锥曲线。[10][11] 这些曲线的极坐标方程类似于普通圆锥曲线的极坐标方程，而普通圆锥曲线是这些广义圆锥曲线的特殊情况。

定义
对于常数 r₀ ≥ 0，λ ≥ 0 和实数 k，由极坐标方程描述的平面曲线
$$ r={\frac {r_{0}}{1+\lambda \sin(k\theta )}} $$
称为广义圆锥曲线。[11] 当 λ < 1，λ = 1 或 λ > 1 时，圆锥曲线分别称为广义椭圆、抛物线或双曲线。

特殊情况

• 当 k = 1 时，广义圆锥曲线简化为普通圆锥曲线。
• 当 k > 1 时，有一种简单的几何方法来生成相应的广义圆锥曲线。[11]
  设 $α$ 为一个角，使得 sin $α$ = 1/k。考虑一个半顶角等于 $α$ 的直圆锥。考虑该圆锥与一个平面的交集，使得交集是一个离心率为 λ 的圆锥曲线。将圆锥展开到一个平面。然后在平面上展开的离心率为 λ 的圆锥截面曲线是具有定义中指定的极坐标方程的广义圆锥曲线。
  
• 当 k < 1 时，广义圆锥曲线不能通过展开圆锥截面得到。在这种情况下，有另一种解释。
  考虑在平面上绘制的普通圆锥曲线。将平面卷成一个直圆锥，使得圆锥曲线成为三维空间中的曲线。该曲线在垂直于圆锥轴的平面上的投影将是广义圆锥曲线，且 k < 1。

hbghlyj

RollingConesCylinders.pdf第20页 Figure 21,22,23的图：

r0 = 5, λ = 0.6, k = 1.5	r0 = 5, λ = 0.22, k = 5.5	r0 = 5, λ = 1, k = 1.5	r0 = 5, λ = 1, k = 1.15
r0 = 5, λ = 1.6, k = 1.5	r0 = 5, λ = 0.8, k = 0.5	r0 = 5, λ = 1.0, k = 0.5	r0 = 5, λ = 1.5, k = 0.5