Lusin定理 关于自然数集的子集

hbghlyj

存在一个$ \mathbf N $ 的无限子集族 $ \{ A _ \alpha \} _ {\alpha \in \omega _ {1} } $ 使得 $ A _ \alpha \cap A _ \beta $ 对于任意 $ \alpha \neq \beta $ 是有限的，
并且对于 $ \omega _ {1} $ 的任意两个不可数的不相交的子集 $ E $ 和 $ F $，
不存在一个 $ \mathbf N $ 的子集 $ C $ 使得对于所有 $ \alpha \in E $：$ A _ \alpha \setminus C $是有限的，并且对于所有 $ \alpha \in F $：$ A _ \alpha \cap C $是有限的。

如何证明这个定理？