$f^*$是凸函数？

hbghlyj

Legendre transformation

$$f^*(y)=\max _{x \in \mathbb{R}}(x \cdot y-f(x))$$
如何证明$f$是凸函数则$f^*$是凸函数？

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,1<p<\infty,$如何证明$$f(y)=\frac{1}{p}|y|^p\implies f^*(y)=\frac{1}{q}|y|^q$$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-27 16:26
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,1<p<\infty,$如何证明$f(y)=\frac{1}{p}|y|^p\implies f^*(y)=\frac{1}{q}|y|^q$

Young不等式表述如下：设 \( f \) 是定义在 \([0,c]\) 上的实值、连续且严格递增的函数，其中 \( c>0 \)。如果 \( f(0)=0 \)，\( a \in [0,c] \)，且 \( b \in [0,f(c)] \)，则有$
\int_0^a f(x) \, dx + \int_0^b f^{-1}(x) \, dx \geq ab,$
其中 \( f^{-1} \) 是 \( f \) 的反函数。当且仅当 \( b = f(a) \) 时取等号。

特别地，取函数 \( f(x) = x^{p-1} \) 得到特殊情况
\[
\frac{a^p}{p} + \frac{(p-1)}{p} b^{\frac{p}{p-1}} \geq ab,
\]
设$q=\frac p{p-1}$，可写成对称形式
\[
\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \geq ab,
\]
其中 \( a, b \geq 0 \)，\( p > 1 \)，并且$
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$ 用在这里：$$f^*(y)=\max _{x \in \mathbb{R}}(x \cdot y-\frac{|x|^p}p)=\frac{|y|^q}{q}$$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-27 16:26
如何证明$f$是凸函数则$f^*$是凸函数？

凸函数如何证明呢？
以及如何证明$(f^*)^*=f$