三角不等式 微小线元素$\frac{|\rmd z|}{1-|z|^2}$

hbghlyj

$D=\{z\inC:|z|<1\}$
设函数$d:D\times D\to\mathbb R^{\ge0}$
\[
d(z_1,z_2)=\frac{1}{2} \log \frac{1+\left|\frac{z_1-z_2}{1-\bar{z}_1 z_2}\right|}{1-\left|\frac{z_1-z_2}{1-\bar{z}_1 z_2}\right|}
\]
如何证明：$\forall z_1,z_2,z_3\in D,$\[d(z_1,z_2)+d(z_2,z_3)\ge d(z_1,z_3)\]

hbghlyj

一般的，$\frac{1}{1-|z|^2}$可以换成哪些函数，使得仍满足三角不等式？