函数方程

hbghlyj

$R$是从$\mathbb R^3$到$\mathbb R^3$的函数：\[
R(x, y, z)=\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)
\]通过$R$可以定义从$\mathbb R^6$到$\mathbb R^6$的函数$R_{ijk}$，只在第$i,j,k$个坐标施加$R$，其它坐标保持不变，举个例子：\[
\begin{aligned}
R_{356}\left(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\right) & =\left(a_1, a_2, R_1\left(a_3, a_5, a_6\right), a_4, R_2\left(a_3, a_5, a_6\right), R_3\left(a_3, a_5, a_6\right)\right) \\
& =\left(a_1, a_2, a_3^{\prime}, a_4, a_5^{\prime}, a_6^{\prime}\right),
\end{aligned}
\]函数方程\[\tag3\label3
R_{123} \circ R_{145} \circ R_{246} \circ R_{356}=R_{356} \circ R_{246} \circ R_{145} \circ R_{123}
\]
方程两边都是$\mathbb R^6$到$\mathbb R^6$的函数。

hbghlyj

这里说，从电学得到\eqref{3}的解：\[
\begin{aligned}
R(x, y, z) & =\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) \\
x^{\prime} & =\frac{x y}{x+z+x y z} \\
y^{\prime} & =x+z+x y z \\
z^{\prime} & =\frac{y z}{x+z+x y z} .
\end{aligned}
\]
如何验证呢？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-2-6 11:41
如何验证呢？

用Mathematica函数复合：

1. (*Define the mappings R1,R2,R3*)
2. R1[{x_,y_,z_}]:=x y/(x+z+x y z);
3. R2[{x_,y_,z_}]:=x+z+x y z;
4. R3[{x_,y_,z_}]:=y z/(x+z+x y z);
6. (*Define the mapping Rijk*)
7. R[i_,j_,k_]:=Function[coords,Module[{result},result=coords;
8. result[[i]]=R1[{coords[[i]],coords[[j]],coords[[k]]}];
9. result[[j]]=R2[{coords[[i]],coords[[j]],coords[[k]]}];
10. result[[k]]=R3[{coords[[i]],coords[[j]],coords[[k]]}];
11. result]]
13. (*verify R_{123}\circ R_{145}\circ R_{246}\circ R_{356}=R_{356}\circ R_{246}\circ R_{145}\circ R_{123} holds:*)
14. Composition[R[3,5,6],R[2,4,6],R[1,4,5],R[1,2,3]][Table[Subscript[a,i],{i,6}]]==Composition[R[3,5,6],R[2,4,6],R[1,4,5],R[1,2,3]][Table[Subscript[a,i],{i,6}]]//Simplify

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hbghlyj

这个电学的解是如何得到的呢？

hbghlyj

还有哪些函数 R 满足 \eqref{3}