一道递推关系为两个根号之和的数列不等式

其妙

kuing

先求下通项吧，令
\[a_n=b_n+\frac1{b_n},\]
其中 `b_n\geqslant1`，则 `b_1=1`，代入 `a_{n+1}=\sqrt{2a_n+4}+\sqrt{a_n-2}` 中得
\begin{align*}
b_{n+1}+\frac1{b_{n+1}}&=\sqrt{2\left(b_n+\frac1{b_n}+2\right)}+\sqrt{b_n+\frac1{b_n}-2}\\
&=\sqrt2\left(\sqrt{b_n}+\frac1{\sqrt{b_n}}\right)+\sqrt{b_n}-\frac1{\sqrt{b_n}}\\
&=\bigl(\sqrt2+1\bigr)\sqrt{b_n}+\frac1{\bigl(\sqrt2+1\bigr)\sqrt{b_n}},
\end{align*}
所以
\[b_{n+1}=\bigl(\sqrt2+1\bigr)\sqrt{b_n}\riff b_n=\bigl(\sqrt2+1\bigr)^{2-2^{2-n}},\]
即得
\[a_n=\bigl(\sqrt2+1\bigr)^{2-2^{2-n}}+\bigl(\sqrt2-1\bigr)^{2-2^{2-n}}.\]

其妙

kuing 发表于 2025-2-11 01:03
先求下通项吧，令
\[a_n=b_n+\frac1{b_n},\]
其中 `b_n\geqslant1`，则 `b_1=1`，代入 `a_{n+1}=\sqrt{2a_n ...

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其妙

那边的那道题，是两个根号之差的数列，能不能像这样求通项？

Aluminiumor

$a_1=2\leq6-2^{3-1}=2$
若 $a_k\leq6-2^{3-k},k\in\mathbb{N}_+$
则
$$
\begin{align*}
a_{k+1}&\leq\sqrt{16-2^{4-k}}+\sqrt{4-2^{3-k}}\\
&=\sqrt{2}\cdot\sqrt{8-2^{3-k}}+1\cdot\sqrt{4-2^{3-k}}\\
&\leq\sqrt{3}\cdot\sqrt{12-2^{4-k}}\\
&=2\sqrt{3(3-2^{2-k})}\\
&\leq6-2^{2-k}
\end{align*}
$$
由数学归纳法，得证.

其妙

原题是证明$a_n<6$，然后我给了一个加强的不等式（加强为证明$a_n\leq{6-\dfrac{1}{2^{n-3}}}$），还能不能再加强？