求证一个$n$元不等式

lemondian

已知$x_i>0,x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n(n\geqslant 3且\inN^*)$,证明或否定：$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}-1\leqslant \dfrac{n-1}{x_1x_2...x_n}$.

lemondian

高人说：用有限调整法显然成立！

可惜没有下文

yao4015

我却觉得用瞪眼法，这个不等式显然不成立！

yao4015

yao4015 发表于 2025-2-26 11:27
我却觉得用瞪眼法，这个不等式显然不成立！

调侃高手的话，你还当真了？

yao4015

lemondian 发表于 2025-3-3 15:38
顶一下这个

你实在有点执着哦，就给你个链接吧
emis.univie.ac.at//journals/JIPAM/images/059_06_JIPAM/059_06.pdf
方法告诉你了，不过需要你自已去做一下。我没啥兴趣做。

lemondian

这里又看到一个类似的题：（还是不会弄）
\begin{aligned}
&\text { Let } a_1, a_2, \cdots, a_n>0 \text { and } a_1+a_2+\cdots+a_n=n(n \geq 4) \text {. Prove that }\\
&\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} \leq 1+\frac{n-1}{a_1 a_2 \cdots a_n}
\end{aligned}

lemondian

各位帮忙解决一下这两个不等式吧，谢谢了

lemondian

lemondian 发表于 2025-3-10 10:25
这里又看到一个类似的题：（还是不会弄）
\begin{aligned}
&\text { Let } a_1, a_2, \cdots, a_n>0 \text  ...

又见一题：
Let $n \geq 4$ be an integer and $a_k \geq 0, k=1,2, \ldots, n ; a_1+a_2+\cdots+a_n=n$. Prove that
\[
\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right) \prod_{k=1}^n a_k \leq\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}+\left[n-\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}\right] \prod_{k=1}^n a_k
\]

lemondian

哪位达人，把这三个题解决吧😀