2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）第10题

lemondian

10．（本题满分 20 分）在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma: x^2-y^2=1$ 的右顶点为 $A$．将圆心在 $y$ 轴上，且与 $\Gamma$ 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点 $P$ ，圆心距为 $d$，求 $d /|P A|$ 的所有可能的值．

这题对于等轴双曲线，结果应该都是一样，都等于$2\sqrt{2}$,除了解析法，不知还有没有其它做法？如平几做法？