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切圆饼
考虑一个圆饼：每切一刀，我们就把一些已有的块切成了两份。要知道切缝经过了多少个区域，只需要看它被已有的其它切缝分成了多少段。在切第$n$刀时，有$n-1$条已有的缝。在最好的情况下，新的切缝与所有已有的切缝相交，形成$n-1$个交点，这些交点把新的切缝分成$n$段。因此，新增的块数最多是$n$。切$n$刀能把圆饼分成的块数最多是：\[
\text {饼}_{n-1}=1+1+2+3+\dots+n=(n^2+n+2) / 2
\]切蛋糕
考虑立体的图形。每一刀都把一些已有的块切成两份。和之前不同的是，我们的第 3 刀的切面经过了 4 个已有的区域，把它们全都一分为二，得到 8 块蛋糕。事实上，要知道切面经过了多少个区域，只需要把这个切面单独拿出来看。我们发现，蛋糕的切面实际上是一个圆饼。新的切面和已有的切面相交于若干条直线，这就相当于在圆饼上切了若干刀。切第$n$刀时增加的块数最多是$饼_{n−1}$。例如，如果我们在蛋糕上切第 4 刀，可以这么切：得到公式，在蛋糕上切$n$刀，得到的块数最多为：\[
\text {蛋糕}_{n-1}=\text {饼}_0+\text {饼}_1+\cdots+\text {饼}_{n-1}=(n^3+5 n+6) / 6
\]切曲奇
接下来研究带洞的物体。曲奇上的洞可以看成是切了一刀，留下一个窄缝，但两端没有切断。把其两端切断，那么块数增加 2 块，这和在圆饼切$n+1$刀的情况一样，因此有$曲奇_n = 饼_{n+1}- 2$
切甜甜圈
现在，我们做好准备，可以解决文章开头提出的问题。甜甜圈的本质是挖了一个洞的蛋糕。从曲奇和圆饼的联系可以猜测，甜甜圈和蛋糕也有类似的联系：$甜甜圈_n=蛋糕_{n+1}-2$，甜甜圈的洞可以看成蛋糕上切了一刀，但两端没有切断。如果切断的话，块数会多出 2。按照公式，预测两刀最多能把甜甜圈切6块；三刀，就能切成13 块；甜甜圈的切面可以是圆饼，曲奇或者两个圆饼。
$饼_n= (n^2 + n + 2)/2$，$曲奇_n = (n^2 + 3n)/2$，$两饼_n = (n^2 + 3n + 4)/2$。切面是两个圆饼时，切面被分成的区域最多。因此，我们希望所有的切面都是两个圆饼。此时，总的块数最多是：\[
\text {甜甜圈}_n=\text {两饼}_0+\text {两饼}_1+\text {两饼}_2+\cdots+\text{两饼}_{n-1}=(n^3+3 n^2+8 n) / 6
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