求275的倍数个数

lemondian

若将数字$1,2,3,5,6,7,8,9$排成一行，所得到的8位数中，是275的倍数的有多少个？

realnumber

搜索一下被11，25整除的数的规律

lemondian

realnumber 发表于 2025-4-17 12:30
搜索一下被11，25整除的数的规律

结果是多少？能否写个解答过程供学习一下？
谢谢

kuing

类似题：forum.php?mod=viewthread&tid=96

kuing

（1）`abcdef25`
那就是要 `\{1,3,6,7,8,9\}=\{a,c,e\}\cup\{b,d,f\}` 且 `a+c+e+2-b-d-f-5=\pm11`。
不难列出只有 `\{7,8,9\}\cup\{1,3,6\}` 和 `\{1,3,9\}\cup\{6,7,8\}` 两种；

（2）`abcdef75`
那就是要 `\{1,2,3,6,8,9\}=\{a,c,e\}\cup\{b,d,f\}` 且 `a+c+e+7-b-d-f-5=\pm11`。
不难列出只有 `\{2,8,9\}\cup\{1,3,6\}` 一种。

综上，答案为 `3!\times3!\times3=108`。

mma 验证：

1. Select[FromDigits /@ Permutations[{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}], Mod[#, 275] == 0 &] // Length

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输出 108

kuing

lemondian 点评
有没有奇数位的和与偶数位的和之差为0？

有没有认真看 4# 链接的解法啊，那个差的奇偶性一定是不变的啊

lemondian

kuing 发表于 2025-4-17 22:25
（1）`abcdef25`
那就是要 `\{1,3,6,7,8,9\}=\{a,c,e\}\cup\{b,d,f\}` 且 `a+c+e+2-b-d-f-5=\pm11`。
不难 ...

我的意思是：在（1）中，如何说明$a+c+e+2-b-d-f-5=0$这种情况不存在？
同样的，在（2）中，如何说明$a+c+e+7-b-d-f-5=0$这种情况不存在？

“差的奇偶性一定是不变”如何说明上面等于0是不存在的呢？----不好意思，没有看懂哩

kuing

lemondian 发表于 2025-4-20 10:49
我的意思是：在（1）中，如何说明$a+c+e+2-b-d-f-5=0$这种情况不存在？
同样的，在（2）中，如何说明$a+c+ ...

I Fu 了 U
`F(a,b,c,d,e,f)=a+c+e+2-b-d-f-5`，
`F(a,b,c,d,e,f)-F(b,a,c,d,e,f)=2(a-b)`，
其余类似，即任意交换两数不改变 `F(a,b,c,d,e,f)` 的奇偶性。
现在 `\{1,3,6,7,8,9\}=\{a,c,e\}\cup\{b,d,f\}`，随便取一组来算比如 F(1,3,6,7,8,9) 是奇数，所以 F(a,b,c,d,e,f) 恒为奇数，你觉得奇数会有 0 吗？

kuing

又或者按 realnumber 的点评说的来
`a+c+e+2-b-d-f-5`
`=a+b+c+d+e+f+2+5-2(b+d+f+5)`,
所以奇偶性由所有数字之和决定。
现在 1,2,3,5,6,7,8,9 的和是奇数，所以 `a+c+e+2-b-d-f-5` 恒为奇数。