框架结 丝带

hbghlyj

框架结是配备框架的结，框架是垂直于结的光滑非零向量族。参阅此文。

从视觉上看，这可以想象成一条缠结的丝带，两端平整地粘合在一起，这样丝带就形成了一个可定向的表面。请注意，这仅仅意味着我们排除了丝带在奇数次半扭后粘合在一起的情况，例如莫比乌斯带。参见下图。

如果两个框架可以通过平滑变形转换为另一个，则认为其中一个框架等价。这实际上是一种等价关系，我们将使用“框架”一词来指代等价类或代表性矢量场。具体使用哪种定义，应该从上下文中明确。类似地，$S^3$ 中的框架链接是不相交的框架结的有限集合。在本文档中，除非另有说明，“结”一词将与“链接分量”互换使用。

给定一个框架结 $(K,V)$，我们可以通过沿着矢量场 $V$ 推动结 $K$ 来构造一条丝带。反过来，给定 $S^3$ 中的一条闭合丝带，我们可以通过选择位于丝带中的矢量场，并在结的每个点上垂直于 $K$ 来构造一个框架结 $K$，方法显而易见。参见下图。

给定一个纽结，我们可以选择多种不同的框架。假设我们给定一个具有固定框架的纽结。由于矢量场是光滑的，因此在纽结上存在一个邻域（即一个区间），在该邻域上，纽结和矢量场都可以被认为位于一个平面上。我们将位于该邻域的矢量场部分替换为一个在纽结沿邻域移动时围绕纽结旋转$2π$整数倍的矢量场，从而获得一个新的框架。直观地看，根据框架纽结的等价关系，这似乎是从旧框架获得新框架的唯一方法，同时保持纽结不变。

这部电影展示了三叶结的三种不同框架。

疑问：

• What software do you use to make these?
• Are the surfaces trivial fiber bundles (trefoil × [0, 1])?
• Are these the only three framings? 🤔I would think you can keep twisting the ribbon as many times as you want, and there would be no cyclical symmetry—only maybe a ± symmetry.