面积 三角形内切圆锥曲线

hbghlyj

圆锥曲线分别与直线 $A_2 A_3,A_3 A_1,A_1​​ A_2$ 切于点 $B_1,B_2,B_3$，则$$\S{B_1​​ B_2 B_3}=2 \sqrt{\frac{\S{B_2 B_3 A_1} \S{B_3 B_1 A_2} \S{B_1 B_2 A_3}}{\S{A_1 A_2 A_3}}}$$

kuing

或许这帖 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … 63607&ptid=13230 的结论能用得上

lemondian

这个结论真好看，如何证明呢？

1+1=？

双曲线也满足

lemondian

有没有证明？不用仿射变换的

hejoseph

其实很简单的，甚至说跟圆锥曲线无关。若圆锥曲线分别与 $\triangle A_1B_1C_1$ 的三边 $A_2A_3$、$A_3A_1$、$A_1A_2$ 所在直线分别相切于点 $B_1$、$B_2$、$B_3$，则直线 $A_1B_1$、$A_2B_2$、$A_3B_3$ 共点。对于第一个图设 $A_2B_1/A_2A_3=t$，$A_3B_2/A_3A_1=u$，$A_1B_3/A_1A_2=v$，则
\[
tuv=(1-t)(1-u)(1-v)
\]
右边减去左边得
\[
1-t-u-v+tu+tv+uv-2tuv=0
\]
又
\begin{align*}
S_{\triangle B_2B_3A_1}&=v(1-u)S_{\triangle A_1A_2A_3}\\
S_{\triangle B_3B_1A_2}&=t(1-v)S_{\triangle A_1A_2A_3}\\
S_{\triangle B_1B_2A_3}&=u(1-t)S_{\triangle A_1A_2A_3}
\end{align*}
则
\begin{align*}
S_{\triangle B_1B_2B_3}&=S_{\triangle A_1A_2A_3}-S_{\triangle B_2B_3A_1}-S_{\triangle B_3B_1A_2}-S_{\triangle B_1B_2A_3}\\
&=(1-v(1-u)-t(1-v)-u(1-t))S_{\triangle A_1A_2A_3}\\
&=(1-t-u-v+tu+tv+uv)S_{\triangle A_1A_2A_3}\\
&=2tuvS_{\triangle A_1A_2A_3}\\
&=2\sqrt{tuv(1-t)(1-u)(1-v)}S_{\triangle A_1A_2A_3}\\
&=2\sqrt{\frac{v(1-u)S_{\triangle A_1A_2A_3}\cdot t(1-v)S_{\triangle A_1A_2A_3}\cdot u(1-t)S_{\triangle A_1A_2A_3}}{S_{\triangle A_1A_2A_3}}}\\
&=2\sqrt{\frac{S_{\triangle B_2B_3A_1}S_{\triangle B_3B_1A_2}S_{\triangle B_1B_2A_3}}{S_{\triangle A_1A_2A_3}}}
\end{align*}
下面的类似可以证明

1+1=？

注意到AₙBₙ(n=1,2,3)三线交点必共线，在三角形A₁₂₃中用赛瓦定理，即有tuv=∏(1-n){n=t,u,v}

lemondian

hejoseph 发表于 2025-5-28 21:31
其实很简单的，甚至说跟圆锥曲线无关。若圆锥曲线分别与 $\triangle A_1B_1C_1$ 的三边 $A_2A_3$、$A_3A_1$ ...

如果是第2个图的情形，那$t,u,v$的等式是一样的吗？还是有其它形式？