每张编号为$k$的牌记为$2^k$分,若它们的分值之和为2025,就称这些牌为一个``好''牌组

Tesla35

一副二色牌共有纸牌22张,其中红、蓝每种颜色各11张,编号分别为$0,1,2,\cdots,10$,从这副牌中任取若干张牌,然后按照如下规则计算分值:每张编号为$k$的牌记为$2^k$分,若它们的分值之和为2025,就称这些牌为一个``好''牌组,则``好''牌组的个数为?

kuing

将取出的红牌的分值之和记为 `a`，蓝牌的记为 `b`，则 `0\leqslant a`, `b\leqslant 2047`。

将 `a`, `b` 写成二进制，则所有 `1` 所在的位置就与牌的编号对应，且唯一。

例如 `a=666=1010011010_2`，则红牌取的就只能是 `(1,3,4,7,9)` 这五张牌。

而 `2025` 拆成 `a+b` 显然有 `2026` 种方法，所以所求就是 `2026`。

Tesla35

kuing 发表于 2025-4-21 22:07
将取出的红牌的分值之和记为 `a`，蓝牌的记为 `b`，则 `0\leqslant a`, `b\leqslant 2047`。

将 `a`, `b`  ...

wocao.还是kuing厉害。这个题原来给的什么狗屁答案

Tesla35

kuing 发表于 2025-4-21 22:07
将取出的红牌的分值之和记为 `a`，蓝牌的记为 `b`，则 `0\leqslant a`, `b\leqslant 2047`。

将 `a`, `b`  ...

2026
【解析】知 $2025=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^3+2^0$ ，设 $x$ 为一个＂好＂牌组中，未出现的编号的最大值 $(x \inN$ 且 $0 \leqslant x \leqslant 10)$ ，由 $2^0+2^1+\cdots+2^{10}=2047>2025$ 知＂好＂牌组中不可能每种编号的牌都有，知 $x$ 必然存在，
当 $x \geqslant 5$ 时，由于 $2025-2^{x+1}-2^{x+2}-\cdots-2^{10}<2^{x+1}$ ，知编号为 $x+1, x+2, \cdots, 10$ 的牌各恰有一张，此时剩余要取出的分数为 $2025-2^{x+1}-2^{x+2}-\cdots-2^{10}=2^{x+1}-23$ ，且此时只能从编号为 $0,1,2, \cdots, x-1$ 的牌中取，而编号为 $0,1,2$ ， $\cdots, x-1$ 的所有牌的分值总和为 $2 \times(2^0+2^1+\cdots+2^{x-1})=2^{x+1}-2$ ，因此只需从编号为 $0,1,2, \cdots, x-1$ 的牌中去除 21 分，由于 $2^5=32>23$ ，则只能从编号为 $0,1,2,3,4$ 的牌中取出 21 分，知 $21=2^4+2^2+2^0=2 \times 2^3+2^2+2^0=2^4+2$ $\times 2^1+2^0=2 \times 2^3+2 \times 2^1+2^0=2^3+2 \times 2^2+2 \times 2^1+2^0$ ，共 $2^3+2^2+2^2+2^1+2^2=22$ 种取法，对 $x=5,6,7,8,9,10$ 进行计数，总共有 $22 \times(2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0)=1386$ 种取法；
当 $x \leqslant 4$ 时，知编号为 $5,6,7,8,9,10$ 的牌各恰有一张，此时剩余要取出的分数为 $2025-2^{10}-2^9-2^8-2^7-2^6-2^5=9$，有 $9=2^3+2^0=2 \times 2^2+2^0=2^2+2 \times 2^1+2^0$ ，共 $2^2+2^1+2^2=10$ 种取法，以上取法均满足 $x \leqslant 4$ ，那么总共有 $2^6 \times 10=640$ 种取法，
综合 $x \geqslant 5$ 与 $x \leqslant 4$ 的情况，共 $640+1386=2026$ 组．