正方形沿着圆滚动问题

hjfmhh

圆 $O$ 的半径为 1，$P$ 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点 $A$ 和点 $P$ 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点 $A$ 第一次回到点 $P$ 的位置，则点 $A$ 走过的路径的长度为 $\frac{(2+\sqrt{2}) \pi}{2}$．

［解析］点 $A$ 走过的路径是由 9 段圆心角均为 $\frac{\pi}{6}$ 的劣弧组成的，其中 6 段劣弧所在圆的半径为 1，3 段劣弧所在圆的半径为 $\sqrt{2}$，所以点 $A$ 走过的路径的长度为$$\frac{\pi}{6} \times(1+\sqrt{2}+1+1+\sqrt{2}+1+1+\sqrt{2}+1)=\frac{(2+\sqrt{2}) \pi}{2}$$请问这里9段，6段，3段是怎么得出来的？为什么是9段，6段，3段？

kuing

滚动过程中，圆周上被正方形顶点触碰到的只有六个点，依次记为 A1~A6 且 A1A2 为 AB 的初始位置。
将滚动过程 ABCD 触碰到的 Ai 列出来就是：
\[\begin{array}{c}
A&B&C&D&A&B&C&D&A&B&C&D&A\\
A1&A2&A3&A4&A5&A6&A1&A2&A3&A4&A5&A6&A1
\end{array}\]
由 AB 到 BC 的阶段以 B 为圆心，AB 为半径（r=1）；
由 BC 到 CD 的阶段以 C 为圆心，AC 为半径（r=√2）；
由 CD 到 DA 的阶段以 D 为圆心，AD 为半径（r=1）；
由 DA 到 AB 的阶段 A 不动。
如此循环 3 次，所以有 9 段弧，6 段 r=1，3 段 r=√2。

这样讲得够清楚了吗？😂

hjfmhh

kuing 发表于 2025-4-28 23:23
滚动过程中，圆周上被正方形顶点触碰到的只有六个点，依次记为 A1~A6 且 A1A2 为 AB 的初始位置。
将滚动过 ...

谢谢kuing,后面看明白的，但您提到：滚动过程中，圆周上被正方形顶点触碰到的只有六个点，为什么是6个6个这样分？即ABCDAB对应A1A2A3A4A5A6,接着CDABCD对应A1A2A3A4A5A6,再接着ABCDAB对应A1A2A3A4A5A6