$T^2$上的曲线$\frac{p}{q}$和$\frac{r}{s}$相交$|p s-q r|$次

hbghlyj

第1697页：正整数$p,q,r,s$,
\begin{cases}pt_1\equiv rt_2\mod1\\qt_1\equiv st_2\mod 1\end{cases}有$|p s-q r|$个解$(t_1,t_2),0\le t_1,t_2<1$，为什么？

hbghlyj

四条直线$pt_1-rt_2=0$、$pt_1-rt_2=1$、$qt_1-st_2=0$、$qt_1-st_2=1$围成了平行四边形$P$
对于每组解$(t_1,t_2)$，将$P$作平移$(t_1,t_2)$，$P$的平移覆盖了整个平面
正方形$[0,1)^2$的面积为$1$，$P$的面积为$\frac1{|ps-qr|}$，所以$[0,1)^2$内有$|ps-qr|$组解$(t_1,t_2)$