X=k时的个数怎么理解？

hjfmhh

在 $n$ 维空间中 $(n \geq 2, n \inN)$ ，以单位长度为边长的＂立方体＂的顶点坐标可表示为 $n$ 维坐标 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$，其中 $a_i \in\{0,1\}(1 \leq i \leq n, i \inN)$．定义：在 $n$ 维空间中两点 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$与 $\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)$ 的曼哈顿距离为 $\left|a_1-b_1\right|+\left|a_2-b_2\right|+\cdots+\left|a_n-b_n\right|$．在 5 维＂立方体＂的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 $X$ 为所取两点间的曼哈顿距离，则 $E(X)=$

解：对于 5 维坐标 $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$，其中 $a_i \in\{0,1\}(1 \leq i \leq 5, i \inN)$．即 $a_i$ 有两种选择 $(1 \leq i \leq 5, i \inN)$，

故共有 $2^5$ 种选择，即 5 维＂立方体＂的顶点个数是 $2^5=32$ 个顶点；
当 $X=k$ 时，在坐标 $\left(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\right)$ 与 $\left(b_1, b_2, b_3, b_4, b_5\right)$ 中有 $k$ 个坐标值不同，即有 $k$ 个坐标值满足 $a_i \neq b_i$，剩下 $5-k$ 个坐标值满足 $a_i=b_i$,

则满足 $X=k$ 的个数为 $\frac{C_5^k 2^5}{2}=C_5^k \cdot 2^4$．
所以 $P(X=k)=\frac{C_5^k \cdot 2^4}{C_{2^5}^2}=\frac{C_5^k}{2^5-1}(k=1,2,3,4,5)$．
故分布列为：
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}\hline X & 1 & 2 & 2 & 3 & 4\\
\hline P &\frac 5{31}&\frac{10}{31} &\frac{10}{31} &\frac 5{31} &\frac1{31}\\\hline\end{array}
则 $E(X)=1 \times \frac{5}{31}+2 \times \frac{10}{31}+3 \times \frac{10}{31}+4 \times \frac{5}{31}+5 \times \frac{1}{31}=\frac{80}{31}$．

X=k时的个数怎么理解？

hjfmhh

应该是先固定一个点A,与点A距离为k的点有C(k,5),当点A取遍所有点2^5时，总共有2^5C(k,5)，又A与B,B与A是重复计算了，因此，总共有2^5C(k,5)/2=2^4C(k,5)，是不是这样理解合理一点？