二进制问题怎么理解？

hjfmhh

实数 $x_0 \in[0,1)$. 数列 $\xn$ 满足对任意 $n \inN^*$, 有 $x_n=\left\{\begin{array}{l}
2 x_{n-1}, x_{n-1}<\frac{1}{2} \\
2 x_{n-1}-1, x_{n-1} \geq \frac{1}{2}
\end{array}\right.$
现知 $x_0=x_{2024}$ 则可能的 $x_0$ 的个数为 (B).

• 2024 个
• $2^{2024}-1$ 个
• $2^{2024}$ 个
• 前三个答案都不对

这道二进制两个方面怎么理解：

• $\xn$的范围是$[0,1)$;
• 递推关系的作用是什么？

kuing

在二进制中乘以 `2`，就像是十进制乘以 `10`，即：小数点往右移一位。

那么该递推的意思就是：

如果 `x_n` 小数点后是 `0`，则小数点右移一位得到 `x_{n+1}`；

如果 `x_n` 小数点后是 `1`，则小数点右移一位，并去掉个位的 `1`，得到 `x_{n+1}`。

这样的话，你就可以把小数点看成是一个吃豆人，它不断右移吃掉那些数字。

所以如果设 `x_0=(0.a_1a_2a_3\dots)_2`，则 `x_n=(0.a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}\dots)_2`，所以 `x_0=x_{2024}` 等价于数列 `\an` 的周期是 `2024`，而每个位可任取 `0` 或 `1`，所以一共有 `2^{2024}` 种可能，但注意 `x_0\ne1`，所以数列不能全取 `1`，因此需要减一个，答案就是 `2^{2024}-1`。

yuzi

kuing真是智慧呀，脖子上是什么脑袋