函数大题

lrh2006

请教第（2）小题，谢谢！
已知函数 $f(x)=e^{x+a}(a \inR), O$ 为坐标原点．
（1）当 $a=1$ 时，
（i）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(-1, f(-1))$ 处的切线方程；
（ii）若点 $P$ 是函数 $f(x)$ 图象上一点，求 $|O P|$ 的最小值；
（2）若函数 $f(x)$ 图象上存在不同两点 $A, B$ 满足 $|O A|=|O B|=\sqrt{1+|a|}$，求 $a$ 的取值范围．

kuing

（2）即求使 `y=f(x)` 与圆 `x^2+y^2=1+\abs a` 有两交点的 `a` 的范围。

其实第（1）问就是提示，它告诉你 `a=1` 时两者相切，那就以这临界点分类讨论好了。

当 `a\geqslant1` 时，有 `f(x)=e^{x+a}\geqslant x+a+1`，即 `y=f(x)` 在直线 `y=x+a+1` 的上方（仅在 `(-a,1)` 处相切）。设原点到该直线的距离为 `d`，则有
\[d=\frac{a+1}{\sqrt2}\geqslant\sqrt{1+a}=r,\]
这说明圆在该直线下方（仅 `a=1` 时相切），所以不可能有两交点；

当 `0<a<1` 时，因为 `f(-a)=1`，即 `(-a,1)` 在 `y=f(x)` 上，而 `(-a)^2+1^2<1+|a|`，说明 `(-a,1)` 在圆内部，于是肯定有两交点；

当 `a=0` 时，显然 `(0,1)` 是两者公共点，且 `f'(0)=1\ne0`，因此不是切点，那肯定还有另一交点；

当 `a<0` 时，因为 `f(0)=e^a<1`，而圆半径不小于 `1`，故 `(0,f(0))` 显然在圆内部，于是肯定有两交点。

综上，所求范围就是 `a<1`。