排列概率问题

hjfmhh

1、15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（     ）
2、从1,2，...，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 （     ）
3、圆上有一个十边形，任意两点连成线段，则从中任取两条线段，没有交点的概率为（     ）

hbghlyj

• 先把 11 个人坐在圆，再让其余 4 人插入 11 个空，共有 $\frac{A_{11}^{11}}{11} \cdot A_{11}^4$ 种坐法
• 取自 $1,2, \ldots, 20$ 取 5 个不同的数 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$ 有 $C_{20}^5$ 种
  若 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ 互不相邻，
  则 $1 \leq a_1<a_2-1<a_3-2<a_4-3<a_5-4 \leq 16$，
  就是从 $1,2, \ldots, 16$ 中取 5 个不同的数，有 $C_{16}^5$ 种
• 每4个圆周上点所连的线段恰有一次相交，将10个点按4个分成组有$C_{10}^4$种．
  $1-\frac{C_{10}^4}{C_{C_{10}^2}^2}=\frac{26}{33}$

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-5-4 15:00
[*]先把 11 个人坐在圆，再让其余 4 人插入 11 个空，共有 $\frac{A_{11}^{11}}{11} \cdot A_{11}^4$ 种坐 ...

圆桌不相邻公式怎么得出来的？

hbghlyj

hjfmhh 发表于 2025-5-4 08:10
圆桌不相邻公式怎么得出来的？

当n个人围成一圈时，每个人都以同一方向依次转动1,2,3,…,n-1个位置得到的排列与原排列算一种排列，而每转动一个位置，若在同一地点将圆排列“剪断”，然后拉成直线，则首末两端的人变了，所以每次的转动在直线排列中是不同的排法，于是一个圆排列在直线排列中变成n种了，因此圆排列数应是相应元素直线排列数的$1/n$即为$n!/n$

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-5-4 15:00
[*]先把 11 个人坐在圆，再让其余 4 人插入 11 个空，共有 $\frac{A_{11}^{11}}{11} \cdot A_{11}^4$ 种坐 ...

第一题和第三题不对

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-5-4 15:30
正确答案是？

第三题：14/33；第一题：450，但没过程

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-5-4 15:39
$C_{11}^4+C_{10}^3=450$

不明白为什么？怎么理解

hbghlyj

hjfmhh 发表于 2025-5-4 08:40
不明白为什么？怎么理解

15人中固定一人A，在他左边“剪断”，然后拉成直线。
情况一、A不是去掉的4人之一，则去掉 4 人后余11人有 11 个位置（10 个空、首尾算同一个）。
把 4 人插入 11 个位置有$C_{11}^4$种。
情况二、A是去掉的4人之一，则让其余 3 人插入 10 个空（不取首尾，以免与A相邻），有$C_{10}^3$种。

hbghlyj

hjfmhh 发表于 2025-5-4 08:32
第三题：14/33

每4个圆周上点连成2条线段恰有2种是不相交的：{BC,DA}{AB,CD}

将10个点按4个分成组有$C_{10}^4$种．
$$\frac{2×C_{10}^4}{C_{C_{10}^2}^2}=\frac{14}{33}$$

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-5-4 16:10
15人中固定一人A，在他左边“剪断”，然后拉成直线。
情况一、A不是去掉的4人之一，则去掉 4 人后余11人有 ...

为什么要固定一个人A?然后再分两种情况去掉的4人含A和不含A

kuing

hjfmhh 发表于 2025-5-4 14:48
1、15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（     ）
2、从1,2，...，20中任取5 ...

1、将已坐好的 15 人顺次序编号为 1~15，设选出的 4 人的编号由小到大为 `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_4`，再设
\begin{align*}
a&=x_1,\\
b&=x_2-x_1-1,\\
c&=x_3-x_2-1,\\
d&=x_4-x_3-1,\\
e&=16-x_4,
\end{align*}
则 `a`, `b`, `c`, `d`, `e\inN^+` 且 `a+b+c+d+e=13`，由隔板法知有 `C_{12}^4` 组解。
但注意 `a`, `e` 不能同时 `=1`（否则 `x_1`, `x_4` 相邻），所以要减去 `a=e=1` 的，即 `b+c+d=11` 的解数，同样由隔板法知有 `C_{10}^2` 组解。
综上，结果是 `C_{12}^4-C_{10}^2=450`。