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hbghlyj
Posted 2025-5-6 19:50
代数学方法 卷二：线性代数 李文威 著
高等教育出版社，2024年9月出版。
何谓线性代数$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Hm}{\operatorname{H}}\newcommand{\Ker}{\operatorname{ker}}\newcommand{\Coker}{\operatorname{coker}}\newcommand{\Image}{\operatorname{im}}$
按照代数学界的理解, "线性''泛指与具有加法及其逆运算, 亦即减法的种种结构相关连的性质. 加减法进一步给出取整数倍的运算, 而一个立即的推广是考虑来自某个环 $R$ 的纯量乘法. 典型例子莫过于左 $R$-模和右 $R$-模, 而 $\Z$-模即交换群. 对于给定的 $R$-模 (以下默认为左模) 可以探讨其子模和商模, 以及考虑模同态 $f$ 的核 $\Ker(f)$, 余核 $\Coker(f)$ 及像 $\Image(f)$, 它们全是来自基础代数学的老友; 至少, $R$ 为域亦即向量空间的情形是广为人知的.
自 20 世纪以降, 人们逐渐在实践中意识到: 将 $R$-模及同态的研究扩及 $R$-模构成的复形, 亦即一列满足 $d^{n+1} d^n = 0$ 的模同态
\[ \cdots \to X^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} X^n \xrightarrow{d^n} X^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \cdots \]
非但有益, 方便, 而且往往是必要的. 关于同态的条件有时表作 $d^2 = 0$, 复形的全套资料则常简写为 $(X^n, d^n)_n$, $(X, d)$ 或 $X$. 由于采取上标递增的记法, 复形又称上链复形; 若改用下标递降的记法 $\cdots \to X_n \xrightarrow{d_n} X_{n-1} \to \cdots$, 所得的数学对象称为链复形, 它和复形的差别仅是形式上的.
单个 $R$-模 $M$ 可以看作复形的特例, 相当于取 $X^0 = M$ 而其他项全部取零. 对于给定的复形 $X$, 由于 $d^n d^{n-1} = 0$, 可以定义其第 $n$ 个上同调为商模
\[ \Hm^n(X) := \Ker\left(d^n \right) \big/ \Image\left(d^{n-1} \right). \]
满足 $\forall n \; \Hm^n(X) = 0$ 的复形称为正合列或零调复形. 对于链复形, 我们相应地有同调 $\Hm_n(X) := \Ker(d_n) / \Image(d_{n+1})$. 复形 (或链复形) 的上同调 (或同调) 经常蕴藏数学对象的重要信息.
对于模或者其他具备某种线性操作的数学结构, 例如稍后要介绍的 Abel 范畴中的对象, 复形及其上同调的研究是通称为同调代数的学科的经典内容; 这是本真意义的``线性代数''的一个真子集, 也是本书核心, 其来由不妨略述一二.
1.1 子商
1.2 像, 余像和严格态射
1.3 加性范畴: 核, 余核
1.4 推广: 交换环上的线性范畴
1.5 由函子观极限.
1.6 滤过归纳极限.
1.7 Kan 延拓
1.8 以极限构造 Kan 延拓
1.9 Gabriel–Zisman 局部化
1.10 沿局部化作 Kan 延拓
1.11 伴随函子定理
习题
第二章 Abel 范畴
2.1 Abel 范畴的定义
2.2 初识复形
2.3 若干图表引理.
2.4 格论一瞥
2.5 直和分解
2.6 子对象和同构定理
2.7 单性和半单性.
2.8 正合函子, 内射对象和投射对象
2.9 Serre 子范畴和 K0
2.10 Grothendieck 范畴
习题
第三章 复形
3.1 加性范畴上的复形
3.2 Hom 复形与同伦
3.3 映射锥
3.4 相反范畴上的复形
3.5 双复形
3.6 Abel 范畴上的复形
3.7 映射锥和长正合列
3.8 练习: Hochschild 同调与上同调
3.9 截断函子
3.10 双复形的上同调
3.11 解消
3.12 经典导出函子
3.13 实例: lim1
3.14 实例: Ext 和 Tor
3.15 K-内射和 K-投射复形
习题
第四章 三角范畴与导出范畴
4.1 三角范畴的定义
4.2 基本性质
4.3 三角范畴的局部化
4.4 导出范畴
4.5 态射和扩张
4.6 三角函子与局部化
4.7 导出函子通论.
4.8 有界导出函子.
4.9 实例: RHom
4.10 实例: R lim 作为同伦极限.
4.11 无界导出函子
4.12 实例: K-平坦复形和 L⊗
习题
第五章 谱序列
5.1 滤过与分次结构
5.2 谱序列的一般定义
5.3 正合偶
5.4 滤过微分对象的谱序列
5.5 滤过复形的谱序列
5.6 双复形的谱序列及其应用.
5.7 谈谈乘法结构.
习题 |
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kuing
Posted 2025-5-6 14:00
也许曾经有一些更类似的网站但现在已经停止了吧