来自讨论组群：整数 `xy+yz+zx=118` 求 `x^2+y^2+z^2` 最小值

kuing

RT，注意 `x`, `y`, `z` 是整数。

（所以我暂且选了[数论]分类）

kuing

原来也不难……或者说出题的仁慈，给的数字比较好。

假设三数中有两数相等，比如 `y=z`，则 `2xz+z^2=118`，得 `x=59/z - z/2`，而 `59` 是素数，显然不存在整数 `z` 使 `x` 为整数，因此三数都不相等。

不妨设 `x<y<z`，假设它们是公差为 `1` 的等差数列，则令 `x=y-1`, `z=y+1` 代入条件得 `3y^2=119`，显然无整数解，因此 `y-x` 与 `z-y` 中至少有一个 `\geqslant2`，则 `z-x\geqslant3`，由此得
\[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geqslant1^2+2^2+3^2=14,\]
得到
\[x^2+y^2+z^2\geqslant xy+yz+zx+7=125,\]
又存在 `(x,y,z)=(5,6,8)` 满足 `x^2+y^2+z^2=125`，所以 `125` 就是最小值。