Steffen多面体的体积

hejoseph · 2025-5-16 16:12

可以在不改变面的形状和棱的棱长的情况下改变自身的形状的多面体称为弹性多面体或柔性多面体。
Steffen 多面体一共有 14 个三角形面 21 条棱和 9 个顶点组成，是最简单的由非相交面组成的弹性多面体。第一个图是 Steffen 多面体的展开图，其中实线表示向上对折，虚线表示向下对折，相同字母的点对折后贴在一起，其中 $AD=AI=EG=GH=5$，$AF=BD=BE=CH=CI=FG=10$，$DE=HI=11$，$AB=AC=BG=CG=DF=EF=FH=FI=12$，$BC=17$。下面三个图是 Steffen 多面体的三个形状的直观图。
Steffen 多面体在改变自身形状时保持体积不变，现在的问题是求出体积的精确值。体积是一个多项式方程的根，求出这个多项式也可以认为求出体积的精确值。体积的近似值约为200.7772051581。
PDF是展开图，可以自行打印制作纸模型。压缩文件里是三个形状的STL文件，一般WIN 10、WIN 11都可以打开，有3D打印机的可以直接打印模型。

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Steffen多面体.zip (1.87 KB, Downloads: 17)

hejoseph · 2025-5-20 08:31

我的方法：首先将 $A$ 设为原点、$B$ 设为 $x$ 轴正半轴的点，$C$ 设为 $xOy$ 正半平面的点，根据距离关系得到 $D$ 的坐标，为了计算方便，可使 $A$、$B$、$C$、$D$ 共面，再根据距离关系得到 $E$、$F$、$G$ 的坐标，再根据距离关系得到 $H$、$I$。得到所有点的坐标后体积就容易得到结果了。但是求 $H$、$I$ 坐标的时候运行很久都没有得到结果，应该方程的次数很高。

hejoseph · 2025-6-4 17:49

风箱定理，这个定理说明了弹性多面体在变动过程中体积是不变的。
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[几何] Steffen多面体的体积

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