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[几何] 一个关于二次曲线的公切线命题

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lemondian posted 2025-5-19 11:29 |Read mode
下面这个命题是否正确?如果正确,如何严格证明?
命题:两条不同的二次曲线最多有四条公切线。

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Aluminiumor posted 2025-5-19 12:14
显然存在两条不同的二次曲线,其有四条公切线。
下证不可能存在更多公切线.
若存在 $n(n\geq5)$ 条公切线,方程为 $a_ix+b_iy+c_i=0\text{ for }i=1,2,\ldots,n$
我们知道二次曲线的一般方程为 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$
不妨考虑 $A\neq0$,那么曲线方程可写为$x^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$
当 $n=5$ 时,将 $5$ 条直线方程与二次曲线方程联立,令 $\Delta_i=0$
那么可以得到关于 $B,C,D,E,F$ 的 $5$ 个方程。
那么 $B,C,D,E,F$ 是确定的,也就是说只能有一条二次曲线与这五条直线相切。
(一个技术问题在于,说明这 $5$ 个方程互不等价)
根据上述讨论,$n\geq6$ 的情况就毋需赘述了。

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