一个关于二次曲线的公切线命题

lemondian

下面这个命题是否正确？如果正确，如何严格证明？
命题：两条不同的二次曲线最多有四条公切线。

Aluminiumor

显然存在两条不同的二次曲线，其有四条公切线。
下证不可能存在更多公切线.
若存在 $n(n\geq5)$ 条公切线，方程为 $a_ix+b_iy+c_i=0\text{ for }i=1,2,\ldots,n$
我们知道二次曲线的一般方程为 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$
不妨考虑 $A\neq0$，那么曲线方程可写为$x^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$
当 $n=5$ 时，将 $5$ 条直线方程与二次曲线方程联立，令 $\Delta_i=0$
那么可以得到关于 $B,C,D,E,F$ 的 $5$ 个方程。
那么 $B,C,D,E,F$ 是确定的，也就是说只能有一条二次曲线与这五条直线相切。
（一个技术问题在于，说明这 $5$ 个方程互不等价）
根据上述讨论，$n\geq6$ 的情况就毋需赘述了。