仿射簇的乘積的拓樸不是它們的Zariski拓樸的乘積拓樸

hbghlyj

两个仿射簇（或仿射概形）$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}\def\A{\mathbb{A}}$$$X = \Spec A,\quad Y = \Spec B$$的积$X\times Y$，被定义为$\Spec(A\otimes B)$，其上的 Zariski 拓扑由 $A\otimes B$ 中任意元素的零点集合生成，而不是由单纯的“各自 Zariski 拓扑的积拓扑”生成。结果是，$\Spec(A\otimes B)$ 的闭集中可以出现既不是 $X$ 的闭集与 $Y$ 的闭集直接做积，也无法表示为有限并的此类积的集合，因此其拓扑严格强于两因子 Zariski 拓扑的积拓扑。
仿射簇积的 Zariski 拓扑

• 对仿射簇 $X=\Spec A$，其 Zariski 拓扑的闭集形式为
  $$V(I) = {\mathfrak p\in\Spec A: I\subseteq \mathfrak p},$$
  其中 $I\subseteq A$ 为一个理想 (Wikipedia)。
• 对 $X\times Y=\Spec(A\otimes B)$，闭集同样由 $A\otimes B$ 中理想生成。但这些理想并非都来源于 $A$ 或 $B$ 单独的理想张成 (Math UBC)。

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为什么不是积拓扑

• 积拓扑的闭集 在一般拓扑学中定义为各因子闭集的有限并与有限交：
  $$\bigcup_{i=1}^n \bigl(Z_i^X \times Z_i^Y\bigr), $$
  其中每个 $Z_i^X\subseteq X$、$Z_i^Y\subseteq Y$ 是闭集 (Math UBC)。
• Zariski 拓扑的闭集 则为任意多项式 $f\in A\otimes B$ 的零点集合
  $$V(f) = {(\mathfrak p,\mathfrak q): f\in \mathfrak p\otimes B + A\otimes\mathfrak q},$$
  并没有要求 $f$ 必须分解为 $f_1\otimes f_2$ (Mathematics Stack Exchange)。
• 因此，一般存在 Zariski 闭集 $V(f)$ 无法表示为有限并的 $V(I)\times V(J)$，故拓扑更“细”。

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具体示例：$\A^1\times\A^1$ 与仿射平面

• 令 $X=Y=\A^1_k=\Spec k[x]$，则 $X\times Y\cong\A^2_k=\Spec k[x,y]$。
• 考虑二次曲线 $C:xy-1=0$ 在 $\A^2$ 上的零点集合：
  $$C = V(xy-1) \subseteq \A^2_k.$$
  这是一个 Zariski 闭集，但它在积拓扑下不是闭的——因为投影到任一因子 $X$ 或 $Y$ 都不是闭集 (Mathematics Stack Exchange, Math at Washington)。
• 从代数层面看，$xy-1$ 无法写成只含 $x$ 或只含 $y$ 的两个多项式的积 (Mathematics Stack Exchange)。

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结论由于 $\Spec(A\otimes B)$ 的闭集包含了任意多项式 $f(x,y)$ 的零点，远多于因子闭集的有限并，故其 Zariski 拓扑 严格细化 了两因子的积拓扑，而非二者相同。特别地，这意味着在 $\A^1\times\A^1$ 中存在 Zariski 闭集（如 $xy-1=0$），在积拓扑下却无法保持闭性。

hbghlyj

代数簇就是一些多项式的公共零点所构成的集合. 对于多项式的零点而言，我们当然希望它落在代数闭域中，否则像 $x^2 + 1$ 这种在非代数闭域（比如 $\mathbb{R}$）中没有零点的多项式，是没有太大意义的.

代数闭域指的是其上一元多项式的零点总在其中的域. 我们说明代数闭域是无限域. 若不然，设 $\mathbb{F}$ 是一个有限的代数闭域，那么我们可以构造多项式 $f(x)=\prod_{a\in \mathbb{F}}(x-a)+1$，显然 $\mathbb{F}$ 中的元素均不是 $f(x)$ 的零点，这与 $\mathbb{F}$ 是代数闭域矛盾.

给定代数闭域 $k$，我们得到一个 $n$ 维仿射空间 $\A^n=\{(a_1,\cdots,a_n)\mid a_i\in k,\ i=1,\cdots,n\}$ 和域 $k$ 上的 $n$ 元多项式环 $A = k[x_1,\cdots,x_n]$，环上的多项式 $f$ 可以看作映射 $f:\A^n\to k$，这样我们就可以考虑多项式的零点.

设 $T=\{f_{\alpha}\}$ 是一些多项式的集合，记 $Z(T)=\{P\in \A^n\mid f(P)=0\ \forall\ f\in T\}$ 为 $T$ 的零点集. 令 $\mathfrak{a} = (T)$ 为 $T$ 中多项式生成的理想，由于多项式环 $A$ 是 Noether 环，所以 $\mathfrak{a}$ 必是有限生成的. 这是因为 Noether 环 $R$ 满足理想升链条件，可取 $x_1,x_2,\cdots \in R$ 使得 $(x_1)\subseteq (x_1, x_2)\subseteq \cdots$，所以存在 $n$ 使得 $(x_1,\cdots, x_n) = (x_1,\cdots, x_n, x_{n+1}) =\cdots$，从而 $R = (x_1,\cdots,x_n)$ 是有限生成的.

我们定义 $\A^n$ 的一个子集 $Y$ 为代数集，如果它是一些多项式的零点集. 任意两个代数集的并仍是代数集，因为 $Z(T_1)\cup Z(T_2) = Z(T_1 T_2)$；任意多个代数集的交仍是代数集，因为 $\bigcap Y_{\alpha} = Z(\bigcup T_{\alpha})$；空集和全集也是代数集，因为 $\emptyset = Z(1)$，$\A^n = Z(0)$. 根据这三条性质，我们在 $\A^n$ 中取余集便可得到 $\A^n$ 上的一个拓扑 $\{\A^n\setminus Y\} = \{\A^n\setminus Z(T)\}$，称作 Zariski 拓扑. 值得一提的是，任意多个代数集的并不一定是代数集，只要注意到 $\A^1$ 中的代数集（除 $\A^1$ 外）均为有限集，即可轻松构造出反例.

在 Zariski 拓扑下 $\A^1$ 中的闭集是一元多项式的零点集. 而一元多项式环 $A = k[x]$ 的理想均是主理想：设 $\mathfrak{a}$ 是 $A$ 的理想，取次数最低的非零多项式 $f$（这总是可以做到的，因为非零多项式的次数非负），$\forall\ g\in \mathfrak{a}$ 作带余除法 $g=fq+r$，可得 $r=g-fq\in \mathfrak{a}$ 且 $\deg r < \deg f$，所以 $r=0$ 从而 $g=fq$，因此 $\mathfrak{a} = (f)$ 是主理想. 于是对 $\A^1$ 中的闭集 $Z(T)$ 存在 $A$ 的（主）理想 $\mathfrak{a}=(f)$ 使得 $Z(T)=Z(\mathfrak{a})=Z(f)$. 由于 $k$ 是代数闭域，所以 $f$ 可表为 $f(x) = c(x-a_1)\cdots(x-a_n)$，其中 $c,a_1,\cdots,a_n \in k$. 那么就有 $Z(T) = Z(f) = \{a_1,\cdots,a_n\}$，这说明 $\A^1$ 上的闭集（除 $\A^1$ 外）总是有限集. 对 $\A^1$ 上的任意两个开集 $U_1 = \A^1\setminus Z(T_1)=\A^1\setminus\{a_1,\cdots,a_n\}$ 和 $U_2 = \A^1\setminus Z(T_2)=\A^1\setminus\{b_1,\cdots,b_m\}$，由于 $\A^1 = k$ 是无限集，所以总能找到 $c \in k = \A^1$ 使得 $c\neq a_i\ (i=1,\cdots,n)$ 且 $c\neq b_i\ (i=1,\cdots,m)$，从而 $c\in U_1 \cap U_2$. 因此 $\A^1$ 上的 Zariski 拓扑不是 Hausdorff 的.