隐函数与直线相切怎么证明？

hjfmhh

已知曲线 $C: \sin (x+2 y)=2 x-y$, $P(x_0, y_0)$ 为曲线 $C$ 上任一点，则下列说法中正确的有（ ）

• 曲线 $C$ 与直线 $y=x+1$ 恰有四个公共点
• 曲线 $C$ 与直线 $y=2 x-1$ 相切
• $y_0$ 是关于 $x_0$ 的函数
• $x_0$ 是关于 $y_0$ 的函数

【答案】BD
【解析】选项 A：联立曲线 $C$ 与直线 $y=x+1$，代入得：$\sin (3 x+2)=x-1$，令 $t=3 x+2$，即有 $\sin t=\frac{t-5}{3}$，则问题转化为函数 $y=\sin t$ 和函数 $y=\frac{t-5}{3}$ 的图像有几个交点的问题，作函数 $y=\sin t$ 和 $y=\frac{t-5}{3}$ 的图像；因为 $\frac{5 \pi}{2}<\frac{5 \times 3.2}{2}=8$，则 $\sin 8<1$，则由图像可得有 3 个交点，故 A 错误；
选项 B：设 $\left\{\begin{array}{l}x_1=x+2 y \\ y_1=2 x-y\end{array}\right.$，即有 $y_1=\sin x_1$，当 $y=2 x-1$，则 $y_1=1$，由图象可知 $y_1=\sin x_1$ 和 $y_1=1$ 相切，

选项B怎么证明相切？答案证明相切没看明白

hjfmhh

画出$\sin(x+2y)=2x-y$,与直线$y=2x-1$确实是相切的，但这种隐函数与直线相切怎么证明？

1+1=？

如果不知道射影变换的话，可以隐函数求导，计算每个点的切线，和题目所给的直线对比系数，来判断是否切。
如果知道射影变换的话，这题就是$y=\sin x$和$y=1$判断是否相切的问题

1+1=？

hjfmhh 发表于 2025-5-20 20:55
画出sin（x+2y)=2x-y,与直线y=2x-1确实是相切的，但这种隐函数与直线相切怎么证明？ ...

会不会是又想复杂了哦

hjfmhh

lxz2336831534 发表于 2025-5-20 22:14
如果不知道射影变换的话，可以隐函数求导，计算每个点的切线，和题目所给的直线对比系数，来判断是否切。
...

射影变换不改变直线与曲线的位置关系，原来相切，变换后相切；原来相交，变换后相交，这个怎么初等证明？否则学生听不明白的

1+1=？

由 $\sin (x+2 y)=2 x-y$ 确定的多值函数，记为 $f(x)=y$。设 $y=2 x-1$ 为 $g(x)=y$。
若证明 $f(x) \geqslant g(x)$ 在 $\Bbb R$ 上恒成立。
则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 必相切。
\begin{aligned}
& f(x): \;\sin \left(x+2 y_1\right)+y_1=2 x \\
& g(x): \;y_2=2 x-1 \\
& f(x) \geqslant g(x) \Leftrightarrow \sin (x+2(2 x-1))+2 x-1 \leqslant 2 x
\end{aligned}即 $\sin (5 x-2) \leq 1$。这是显然的