忧闷了，三事件独立问题，确实有些糊涂了

realnumber

课本定义两个事件A,B相互独立,如果有P(AB)=P(A)P(B).

又特别注明：
      三个事件A,B,C两两互斥，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
      但当三个事件A,B,C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.

确实可以举例，样本空间Ω={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)},假设每个样本点取到都是等概率的，A={横坐标为1}，B={纵坐标为1}，C={竖坐标为1}，容易验证A,B,C两两独立，P(ABC)=0,P(A)P(B)P(C)=$\frac{1}{8}$--虽然有例子，但没和直觉很好联系起来，也让deepseek举个实例，类似。也许需要时间.

配套习题上有这么一题，甲，乙，丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲，乙，丙能荣获一等奖的概率分别为$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}$,且三人是否获得一等奖互相独立，则三人中至少有两人获得一等奖的概率为（D）
A，B，C,D,$\frac{17}{24}$
解答就在用P(ABC)=P(A)P(B)P(C)等.

哎，吐槽1，出题人也太随意了，就拿这个背景，$\frac{1}{2}$等怎么来的 ，获奖大的不应该是那个....，不过也是传统技艺了
吐槽2，课本都说不要这么干了

爪机专用

可以看这：zhihu.com/question/41168943/answer/2303138718

战巡

这个其实无可厚非吧

关键是它这个说法“互相独立”，或者更简洁的说“$X_1,X_2,...,X_n$独立”，都是默认指所有变量完全独立，而不会把这种说法和“两两独立”等同，两两独立是一种很特殊的情况，两两独立无法推出完全相互独立，反之却成立

统计学里面经常要假设“独立”的，比如很常见的一种说法就是$X_i$独立同分布于某分布，这里就是假设$P(X_1,X_2,...,X_n)=P(X_1)P(X_2)...P(X_n)$，你要按两两独立去假设，后面就玩不下去了

realnumber

战巡 发表于 2025-5-23 01:59
这个其实无可厚非吧

关键是它这个说法“互相独立”，或者更简洁的说“$X_1,X_2,...,X_n$独立”，都是默认 ...

问题是课本根本就没提三个事件相互独立，举例都是两个事件的，举三个事件的话，只说了两两独立，不保证P(ABC)=P(A)P(B)P(C).

又课本人教A必修2，没这个概念“完全独立”
电子元器件串并联默认没问题，其他如本题人为假设的背景，也默认？那课本为啥要特意点出注意点？略有困惑

战巡

realnumber 发表于 2025-5-23 10:21
问题是课本根本就没提三个事件相互独立，举例都是两个事件的，举三个事件的话，只说了两两独立，不保证P( ...

高中教材错漏百出也不是今天才有的事，它没介绍是它的问题，但这种说法本身是没问题的
zh.wikipedia.org/zh-cn/独立_(概率论)
事件相互独立（Mutually independent）指每个事件独立于集合中其他事件的任何交集。
若有限个事件构成的集合$\{A_i\}_{i=1}^n$中每个事件都与任何其他事件构成的交集独立，则这些事件是相互独立(mutually independent) 的。