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Last edited by hbghlyj 2025-5-23 00:36已知 $n$ 行 $n$ 列 $(n \geq 2)$ 的数表 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ 中，对任意的 $i \in\{1,2, \cdots, n\}, j \in\{1,2, \cdots, n\}$，都有 $a_{i j} \in\{0,1\}$．若当 $a_{s t}=0$ 时，总有 $\sum_{i=1}^n a_{i t}+\sum_{j=1}^n a_{s j} \geq n$，则称数表 $A$ 为典型表，此时记 $S_n=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j}$． （1）若数表 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，请判断 $B, C$ 是否为典型表，并说明理由； （2）当 $n \geq 6$ 时，是否存在典型表 $A$ 使得 $S_6=17$，若存在，请写出一个 $A$ ；若不存在，请说明理由； （3）记 $S_n$ 的最小值为 $S_{\min}^n$，求 $\sum_{i=1}^{2 n}\left[(-1)^i S_{\min}^i\right]$．
怎么证明：$n$是偶数时，$S_n$的最小值是$n^2/2$，$n$是奇数时，$S_n$的最小值是$(n^2+1)/2$ |
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