唯一性证明

hjfmhh

命题1：过一点只能作一条直线与已知平面垂直。
命题2：过一点只能作一个平面与已知直线垂直。
这两个显然的结论，怎么证明？谢谢

abababa

用反证法就行吧，比如第一个，假设过点$P$有$a,b$两条直线都与平面$\alpha$垂直，设$a,b$所在的平面为$\beta$，设$\alpha,\beta$的交线为$c$，则$a,b,c$共面，且$a,b$都与$c$垂直，矛盾，所以只能有一条直线与$\alpha$垂直。

hjfmhh

abababa 发表于 2025-5-25 11:21
用反证法就行吧，比如第一个，假设过点$P$有$a,b$两条直线都与平面$\alpha$垂直，设$a,b$所在的平面为$\bet ...

谢谢，第二个证明一下

abababa

hjfmhh 发表于 2025-5-25 14:42
谢谢，第二个证明一下

这是一样的啊，假设过点$P$的直线$\ell$能同时与两个平面$\alpha,\beta$垂直，设$\alpha,\beta$的交线为$m$，则有$\ell\perp m$，设$\ell,m$构成的平面为$\gamma$，设$\gamma$与$\alpha$的交线为$PA$，与$\beta$的交线为$PB$，由于$A,B$分别在$\alpha,\beta$上，所以$PA,PB$不是同一条直线。由于$PA,PB,\ell$共面于$\gamma$，而$PA\subseteq\alpha.\ell\perp\alpha$，所以$\ell\perp PA$，同理$\ell\perp PB$，于是在平面$\gamma$内，过点$P$有$PA,PB$两条直线与$\ell$垂直，矛盾。

hjfmhh

abababa 发表于 2025-5-25 16:41
这是一样的啊，假设过点$P$的直线$\ell$能同时与两个平面$\alpha,\beta$垂直，设$\alpha,\beta$的交线为$m ...

点P不一定在直线l上的，若点P在直线l外，过点P与直线l垂直的平面有且只有一个怎么证明？