是否存在一个定点使得某结论成立

1+1=？

过定点Q的直线交椭圆于A,B两点，是否存在另外一个定点P，使得PA+PB=k(PA×PB)恒成立，其中k为定值?
是否存在一定点S，使得SA²+SB²=m(SA²×SB²)恒成立，其中m为定值？

1+1=？

现在只找到一种特殊情况，圆锥曲线过一焦点的两条焦点弦与锥线交于A,B二点，若$\frac1{FA}+\frac1{FB}=\frac2{e p}$，则AB过准线和对称轴的交点。

hejoseph

你的提法只对某些特殊的圆锥曲线成立啊，因为式子不是齐次的，圆锥曲线变为其相似的曲线就不成立了。

hbghlyj

1+1=？ 发表于 2025-5-29 06:43
圆锥曲线过一焦点的两条焦点弦与锥线交于A,B二点，若$\frac1{FA}+\frac1{FB}=\frac2{e p}$，则AB过准线和对称轴的交点。

2022年伯苓班选拔考试题3: 设椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 $，右焦点为 $F$，右准线交 $x$ 轴于 $P$，过 $P$ 点的直线与椭圆交于 $M,N$ 两点. $\dfrac{1}{|MF|} +\dfrac{1}{|NF|}$ 为定值.

证明：以右焦点为极点，则可知椭圆的参数方程为 $\rho =\dfrac{3}{2-\cos\theta } $，则可知 $\dfrac{1}{|MF|} +\dfrac{1}{|NF|}=\dfrac{4-\cos\angle MFP-\cos\angle NFP }{3},$
而如果我们作垂线，则有 $MS=2MF$，$NT=2NF$，从而注意到 $\sin \angle MFP=\dfrac{PS}{MF} =2\cdot \dfrac{PS}{MS}=2\tan \angle MPS=\cdots=\sin\angle NFP,$ 从而结合图形不难得到两角互补，从而余弦和为 $0$，也即和为定值 $\dfrac{4}{3}$.