环体的直观图方程

hejoseph

定义
\begin{align*}
f_1(x)&=\frac{(R+r\cos x)\sqrt{7+9\cos 2x}}{4\cos x}\\
f_2(x)&=-\frac{(R+r\cos x)\sqrt{7+9\cos 2x}}{4\cos x}\\
g(x)&=\frac{(R+9r\cos x)\tan x}{6\sqrt{2}}
\end{align*}
则点 $(f_1(t),g(t))$ 以及 $(f_2(t),g(t))$ 在 $t$ 变动时画出的曲线是环体的直观图

hbghlyj

圆环\begin{equation}\label{torus}(\sqrt{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1\end{equation}(关于$y$轴旋转45°)作代换$(x, y, z)⟶\left({x + z\over\sqrt2}, y, {z - x\over\sqrt2}\right)$得\begin{equation}\left(\sqrt{\left(x + z\over\sqrt2\right)^2+y^2}-2\right)^2+\left(z - x\over\sqrt2\right)^2=1\label{transformed torus}\end{equation}
令LHS关于$z$的偏导等于$0$得$$\frac{{\left(x + z\right)} {\left(\sqrt{\frac{1}{2} \, {\left(x + z\right)}^{2} + y^{2}} - 2\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} \, {\left(x + z\right)}^{2} + y^{2}}} - x + z=0$$
即
\begin{equation}\label{profile}
\frac{x+z}z=\sqrt{\frac{1}{2} \, (x+z)^{2} + y^{2} }
\end{equation}
从\eqref{transformed torus}与\eqref{profile}消去$z$得
WolframAlpha\begin{equation}\label{result}4 x^8 + 12 x^6 (y^2 - 1) + x^4 (13 y^4 - 62 y^2 - 59) + 6 x^2 (y^2 - 7) (y^2 - 1)^2 + (y^2 - 9) (y^2 - 1)^3 = 0\end{equation}

hbghlyj

椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$作代换$(x^2,y^2)⟶(x,y)$得直线$\frac{x}{a^2}+\frac{y}{b^2}=1$。
将\eqref{result}作代换$(x^2,y^2)⟶(x,y)$得WolframAlpha
它有2个分支，其中一个很接近直线呢！但它不是直线WolframAlpha
作逆代换$(x,y)⟶(x^2,y^2)$得很接近的椭圆WolframAlpha

hbghlyj

\eqref{result}是\eqref{torus}在(1,0,1)方向的投影，这个方向的外轮廓在同一平面内吗？
曲线可以参数化为\begin{equation}\label{para}\led
x&=-\sqrt2(\sin t +\tan t)\\
y&=\pm(1+2\sec t)\sqrt{\cos2t}\\
z&=-\sqrt2\tan t
\endled\end{equation}所以不在同一平面内。

hbghlyj

参数曲线\eqref{para}是关于原点对称的，只绘制¼再关于x轴,y轴对称就能得到完整的曲线，比直接绘制整个曲线快一点。
TikZ中可以使用save path和use path达到重复使用path的效果：

再加上较小的分支

上面是把两个plot分别对称。更简单的方式是把两个plot合并到一条path再对称：

hbghlyj

当圆环竖起来时投影外轮廓是

1. \[ScriptCapitalR]=ImplicitRegion[(2-Sqrt[x^2+z^2])^2+y^2<=1,{x,y,z}];
2. RegionPlot[Evaluate[Resolve[\!\(
3. \*SubscriptBox[\(\[Exists]\), \(z\)]\({x, y, z} \[Element] \[ScriptCapitalR]\)\), Reals]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

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\[\left(-\sqrt{-x^2+4 \sqrt{x^2}-3}\leq y\leq \sqrt{-x^2+4 \sqrt{x^2}-3}\land (-3<x<-2\lor 2<x<3)\right)\lor (-2\leq x\leq 2\land -1\leq y\leq 1)\]

hbghlyj

双曲面在任何方向的外轮廓在同一平面内吗？一定经过轴线吗？
$z^2-x^2 - y^2= 1.$

hbghlyj

球面、柱面在任何方向的外轮廓位于经过轴线的一个平面内。
还有哪些光滑曲面满足在任何方向的外轮廓位于一个平面内？