一个涉及下降阶乘和移位算子的算子乘积的展开式

hbghlyj

在 Math StackExchange 上讨论了一个特定的算子乘积展开式的问题。

提问者考虑如下的算子乘积：
$$
\prod_{j=0}^{n-1} \sum_{i=0}^{s}(n-j-s+i)_i E^i
$$
其中，$(x)_n$ 表示下降阶乘（falling factorial），$E$ 是定义为 $Ef(s) = f(s-1)$ 的移位算子。ChatGPT 展开该表达式，得到：
$$
\sum_{m=0}^{ns}\sum_{\substack{i_{0}+\cdots+i_{n-1}=m \\ 0\leq i_{j}\leq s}}{\prod_{j=0}^{n-1}(n-j-s+i_{j})_{i_{j}}} E^m
$$但在验证时发现结果不一致，这个展开式是否可能是错误的

如果将算子视为实值符号（例如在特征基中作为对角矩阵），使用 Mathematica 计算内层求和，涉及 FactorialPower $x^{(n)}$ 和指数积分函数 $E_n(x)$，得到的结果为两个 E 函数之和。