D选项怎么证明

hjfmhh

一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球．设 $A_i=$＂第 $i$ 次摸到红球＂，$B_i=$＂第 $i$次摸到黄球＂，$C_i=$＂第 $i$ 次摸到蓝球＂，$D_i=$＂摸完第 $i$ 次球后就停止摸球＂，则（）

• $P\left(D_3\right)=\frac{2}{9}$
• $P\left(D_4 \mid A_1\right)=\frac{2}{27}$
• $P\left(D_n\right)=\frac{2^{n-1}-2}{3^{n-1}}, n \geq 3$
• $P\left(D_n \mid B_{n-1} C_{n-2}\right)=\frac{2^{n-3}}{3^{n-2}}, \quad n \geq 3$

答案是ACD，D选项怎么证明?

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-6-7 21:25
[*]实验设置：袋中有红、黄、蓝三色球各一个。每次摸出一个球，记录颜色后放回。
[*]独立性：由于是放回式 ...

第一步计算分母中为什么不考虑前n-3次的情况和第n次的情况，感觉不合理。前n-3次中出现黄蓝或者红蓝，否则游戏不到n-1次就结束了

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-6-7 21:59
您的想法是： 在计算分母 \(P(B_{n-1} \cap C_{n-2})\) 时，也必须考虑游戏没有提前结束。 这个想法是正确 ...

这个解释好像并不合理

hjfmhh

hjfmhh 发表于 2025-6-8 09:27
这个解释好像并不合理

分母那样计算不合理，它只是讲第n-2次和第n-1次是蓝和黄，至于其它位置是不确定的，但要保证前n-1次没有结束，至于第n次之后可以随时结束的，也就是说可以第n次结束，也可以第n+1次结束。。。。。。

hjfmhh

hjfmhh 发表于 2025-6-8 09:49
分母那样计算不合理，它只是讲第n-2次和第n-1次是蓝和黄，至于其它位置是不确定的，但要保证前n-1次没有结 ...

对于 $\mathrm{D}, D_n B_{n-1} C_{n-2}$ 表示＂第 $(n-2)$ 次摸到蓝球，第 $(n-1)$ 次摸到黄球，第 $n$ 次摸到红球，停止摸球＂，则前 $(n-3)$次摸到的球是蓝球或黄球，故有 $2^{n-3}$ 种可能，故 $P\left(D_n B_{n-1} C_{n-2}\right)=\frac{2^{n-3}}{3^n}, n \geq 3$ ， $B_{n-1} C_{n-2}$ 表示＂在前 $n$ 次摸球中，第 $(n-2)$ 次摸到蓝球，第 $(n-1)$ 次摸到黄球＂，故有 $3^{n-2}$ 种可能，故 $P\left(B_{n-1} C_{n-2}\right)=\frac{3^{n-2}}{3^n}, n \geq 3$ ，则 $P\left(D_n \mid B_{n-1} C_{n-2}\right)=\frac{2^{n-3}}{3^{n-2}}, n \geq 3$ ，D 正确．故选：ACD
这个是答案，但总感觉有问题

战巡

hjfmhh 发表于 2025-6-9 11:48
这个是答案，但总感觉有问题

我倾向于答案不对
$P(B_{n-1}C_{n-2})=\frac{1}{3^2}$这个肯定错的

注意，当出现事件$B_{n-1}C_{n-2}$时，并不意味着前面$n-3$次就没有$A$，事件$B_{n-1}C_{n-2}$是包含它恰好在$n-1$次结束的
即
\[P(B_{n-1}C_{n-2})=P(B_{n-1}C_{n-2}D_{n-1})+P(B_{n-1}C_{n-2}D_{\ge n})\]
其中$B_{n-1}C_{n-2}D_{n-1}$要求前面$n-3$个里面至少有一个$A$，且没有$B$，其概率为
\[P(B_{n-1}C_{n-2}D_{n-1})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\left((\frac{2}{3})^{n-3}-(\frac{1}{3})^{n-3}\right)\]

而$B_{n-1}C_{n-2}D_{\ge n}$则要求前$n-3$项没有$A$，全部为$B,C$，即
\[P(B_{n-1}C_{n-2}D_{\ge n})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot(\frac{2}{3})^{n-3}\]
于是
\[P(B_{n-1}C_{n-2})=\frac{1}{3^2}\left(2(\frac{2}{3})^{n-3}-(\frac{1}{3})^{n-3}\right)\]

而
\[P(D_n|B_{n-1}C_{n-2}D_{\ge n})=\frac{1}{3}\]
即
\[P(B_{n-1}C_{n-2}D_n)=P(D_n|B_{n-1}C_{n-2}D_{\ge n})P(B_{n-1}C_{n-2}D_{\ge n})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot(\frac{2}{3})^{n-3}\]

下略...

hjfmhh

战巡 发表于 2025-6-10 17:41
我倾向于答案不对
$P(B_{n-1}C_{n-2})=\frac{1}{3^2}$这个肯定错的

求Bn-1Cn-2D>=n时，可以再第n次 结束，也可以在第n+1次结束，。。。。。。，我那样表达正确吗？你是不是省略了