解析几何解法与背景2025高考

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设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B,|A B|=\sqrt{10}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $A P$ 上，且满足 $|A R| \cdot|A P|=3$．
（i）设 $P(m, n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m, n$ 表示）；
（ii）设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $O R$ 的斜率为直线 $O P$ 的斜率的 3 倍，求 $|P Q|$ 的最大值．
全国I卷的这道解析几何有哪些好的解法，试题背景是什么？

老司機

方程为 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ ；
（2）（i）有 $\overrightarrow{A R}=\lambda \overrightarrow{A P}, \lambda>0$ 且 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A R}=3$ ，则 $\lambda|A P|^2=3, \lambda=\frac{3}{m^2+(n+1)^2}$ ，
$\overrightarrow{A P}=(m, n+1), \quad \overrightarrow{A R}=\left(\frac{3 m}{m^2+(n+1)^2}, \frac{3(n+1)}{m^2+(n+1)^2}\right)$, 故 $R\left(\frac{3 m}{m^2+(n+1)^2}, \frac{3(n+1)}{m^2+(n+1)^2}-1\right)$
（ii）即 $\frac{\frac{3(n+1)}{m^2+(n+1)^2}-1}{\frac{3 m}{m^2+(n+1)^2}}=\frac{3 n}{m}$ ，得 $m^2+(n+4)^2=18$ ，即 P 的轨迹是以 $T(0,-4)$ 为圆心，半径为 $3 \sqrt{2}$ 的圆，设 $Q(x, y)$ ，则 $T Q^2=x^2+(y+4)^2=9\left(1-y^2\right)+(y+4)^2=-2(2 y-1)^2+27 \leq 27$ ，所以 $|P Q| \leq|P T|+|T Q| \leq 3 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}$ ，当 Q 在 $y=0.5$ 上且 T 在线段 PQ 上时取等，即最大值为 $3 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}$