三角函数最大值问题

hjfmhh

若 $A+C=\frac{3}{4} \pi, A>0, C>0$, 求 $\frac{2 \sin A \sin C}{\sin A+\sin C+\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 的最大值
答案是 $\sqrt{4-2 \sqrt{2}}-(\sqrt{2}-1)$
消元法或其它解法