求递增函数使 $f(k+1)$ 与 $f(1),\dots,f(2k+1)$ 平均值之差的最小值最大化

hbghlyj

考虑定义在 $\mathbb{N}^+$ 上的递增函数 $f$，满足$f(1)=1$.
求这样一个函数 $f$，使得
$$
\inf_{k\inN^+}\left[f(k+1)-\frac{1}{2k+1}\sum_{i=1}^{2k+1}f(i)\right]
$$
取得最大值
对于 $f(k)=k$，则 $\forall k$，$0=f(k+1)-\frac{1}{2k+1}\sum_{i=1}^{2k+1}f(i)$