一固体部分浸没于流体中并可绕一固定点自由转动时所满足的平衡条件

hbghlyj

一半圆形薄板，其直径的一端光滑铰接于位于液面上方的固定点，薄板平面始终保持竖直，且直径刚好半浸于液体中。当该直径与水平面所成倾角为 $\pi/4$ 时，证明液体密度与薄板密度之比为
$$
\rho_l:\rho_s = 4(3\pi-4):(9\pi-8)
$$

hbghlyj

设一刚体以 O 点为铰链，部分或全部浸没于密度为 $ρ_l$ 的液体中，则其重力 $W=V_sρ_sg$（作用于质心 G）与浮力 $B=V_lρ_lg$（作用于浮心 H）必在铰链 O 的力矩平衡，即
$$
W\cdot OG = B\cdot OH
$$
若一半圆薄板半径 $a$、密度 $ρ_s$，以直径一端 A 铰接于液面上方，使平面垂直于液面且直径以 $\pi/4$ 倾斜并半浸，易得薄板面积 $\frac12\pi a^2$、浸没面积 $\frac12a^2·\frac{3π}4 =\frac{3\pi a^2}{8}$。令 G、H 分别为薄板和浸没部分的重心，经坐标变换与合成质心公式计算，其水平距 A 的距臂分别为
$$
OG=\frac{a}{\sqrt2}\Bigl(1-\frac{4}{3\pi}\Bigr),\quad OH=\frac{a}{\sqrt2}\Bigl(1-\frac{8}{9\pi}\Bigr)
$$
代入力矩平衡式
$$
\bigl(\tfrac12\pi a^2ρ_s\bigr)OG=\bigl(\tfrac{3\pi a^2}{8}ρ_l\bigr)OH
$$
化简得
$$
\frac{ρ_l}{ρ_s}=\frac{4(3\pi-4)}{9\pi-8}
$$

hbghlyj

在局部坐标系中，以半圆中心 $C$ 为原点，直径 $AB$ 位于 $x$ 轴上、半圆位于 $y\le0$；令铰点 $A$ 经旋转角 $\phi=-\frac\pi4$ 后在全局坐标中水平距为 0，且 $C$ 的全局 $X$ 坐标为 $\frac a{\sqrt2}$。
重心臂 $OG$
半圆质心在局部坐标为
$$
G_{\rm loc}=(0,-\frac{4a}{3\pi})
$$
故其全局 $X$ 坐标
$$
X_G
= \frac a{\sqrt2}+\frac{x_G+y_G}{\sqrt2}
= \frac a{\sqrt2}-\frac{4a}{3\pi\sqrt2}
$$
因 $X_A=0$，得
$$
OG=X_G-X_A
=\frac a{\sqrt2}-\frac{4a}{3\pi\sqrt2}
$$
浮心臂 $OH$
将浸没部分视为半圆 $A=\frac12\pi a^2$ 减去未浸没扇形$A_{\rm air}=\frac18\pi a^2$，未浸没扇形的圆心角为 $\frac\pi4$，记 $\alpha=\frac\pi8$，则扇形质心距 $C$ 的距离 $d=\frac{2a\sin\alpha}{3\alpha}=\frac{2a\sin(\pi/8)}{3(\pi/8)}=\frac{16a}{3\pi}\sin\frac{\pi}{8},$
其方位角为扇形中心线所在方向
$$
\beta=\frac{\pi+5\pi/4}{2}=\frac{9\pi}{8}
$$
因而扇形质心局部坐标
$$
(x_{\rm air},y_{\rm air})
=\bigl(d\cos\beta,\;d\sin\beta\bigr)
=\Bigl(-\frac{8a}{3\pi\sqrt2},-\frac{8a(\sqrt2-1)}{3\pi\sqrt2}\Bigr)
$$
由复合质心公式
$$
A\cdot\overrightarrow{CG}
=(A-A_{\rm air})\overrightarrow{CH}+A_{\rm air}\overrightarrow{CG_{\rm air}}
$$
注意 $\overrightarrow{CG}=(0,0)$，解得浸没部分质心局部坐标
$$
\overrightarrow{CH}=(x_H,y_H)
=\Bigl(\frac{8a}{9\pi\sqrt2},-\frac{8a(\sqrt2+1)}{9\pi\sqrt2}\Bigr)
$$
同样旋转并加上 $C$ 的位移后，其全局 $X$ 坐标
$$
X_H
=\frac a{\sqrt2}+\frac{x_H+y_H}{\sqrt2}
=\frac a{\sqrt2}-\frac{4a\sqrt2}{9\pi}
$$
故
$$
OH=X_H-X_A
=\frac a{\sqrt2}-\frac{4a\sqrt2}{9\pi}
$$