[几何]垂心证角平分

乌贼

     $ \triangle ABC $中，$ DEF $分别为三顶点在三边上的垂足，$ D $在$ EF $上的垂足为$ G $。求证：$ \angle BGD=\angle CGD $。

乌贼

如图：
    $ P、Q $分别为$ B、C $在$ EF $上的垂足，$ K $为$ BC $与$ EF $交点，$ M $在$ FK $上且$ DM\px BF $，$ N $在$ CK $上且$ MN\px FC $。易知$ AC $为$ DM $的垂直平分线。有\[ CD=CN \]\[ \dfrac{BD}{BK}=\dfrac{FM}{FK}=\dfrac{CN}{CK}=\dfrac{DC}{CK}\riff\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{PB}{QC}=\dfrac{PG}{QG}\\\riff\triangle PGB\sim \triangle QGC\riff\angle PGB=\angle QGC\riff\angle BGD=\angle CGD \]