求一个过关游戏的期望最值

lemondian

有一个过关游戏：共有 $n$ 关（用 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 表示），只有通过当前关才能进入下一关，且每一关是否通过相互独立，通过每一关对应的概率和通过时获得奖金 $a_i>0$ 如下表。玩家可任意安排过关顺序进行游戏（例如：可按 $A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow \cdots \rightarrow A_n$ 顺序，也可以按 $A_2 \rightarrow A_5 \rightarrow A_n \rightarrow A_1 \rightarrow \cdots$ 等等）。

关卡	$A_1$	$A_2$	$\cdots$	$A_n$
通过概率	$p_1$	$p_2$		$p_n$
奖金	$a_1$	$a_2$		$a_n$

若用随机变量 $X$ 表示玩家获得的最终奖金。
请问：（1）玩家如何安排过关的顺序，才能使得 $X$ 最大？
（2）玩家如何安排过关的顺序，才能使得 $X$ 最小？

lemondian

举个例子，如下表：
当过关顺序为 $A_1 \to A_2 \to A_3$ 时，$E(X)=2336$，此时 $X$ 为最大值；
当过关顺序为 $A_3 \to A_2 \to A_1$ 时，$E(X)=1872$，此时 $X$ 为最小值。

关卡	$A_1$	$A_2$	$A_3$
通过概率	0.8	0.6	0.4
奖金	1000	2000	3000

kuing

假设顺序为 `\{A_{i_1},A_{i_2},\ldots ,A_{i_n}\}`，则
\[E(X)=p_{i_1}a_{i_1}+p_{i_1}p_{i_2}a_{i_2}+p_{i_1}p_{i_2}p_{i_3}a_{i_3}+\cdots +p_{i_1}p_{i_2}\cdots p_{i_{n-1}}p_{i_n}a_{i_n},\]
然后就不知道了😌