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命题1：设$a,b$为正实数，$m,n$为非负实数，且$k=2m+n$，求证：$a^mb^m(a^n+b^n)\leqslant 2(\dfrac{a+b}{2})^k$.
命题2：设$a,b$为正实数，$m,n$为非负实数，且$k=2m+n,k\in(0,1]$，求证：$a^mb^m(a^n+b^n)\leqslant a^k+b^k\leqslant 2(\dfrac{a+b}{2})^k$.
另外，命题１，２能不能推广？
猜想1：设$a_1,a_2,...,a_n$为正实数，$m,n$为非负实数，且$k=2m+n$，求证：$a_1^ma_2^m\cdots a_n^m(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n)\leqslant n(\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n})^k$.
猜想2：设$a_1,a_2,...,a_n$为正实数，$m,n$为非负实数，且$k=2m+n,k\in(0,1]$，求证：$a_1^ma_2^m\cdots a_n^m(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n)\leqslant a_1^k+a_2^k+\cdots +a_n^k \leqslant n(\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n})^k$. |
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