在任何给定的时间，地球上是否存在两个直径相对的点，它们的压力和温度是相同的？
这实际上只是一个Borsuk-Ulam定理的结果，碰巧适用于地球表面。这个结果只需要我们有两个从拓扑球到实数的连续函数。拓扑球是任何闭合的单连通二维流形——表面实际上是不是一个完美的球体一点也不重要。
设 p 为地球上的任意一点，设 f(p) 是 p 的某个连续函数。
现在我将定义一个新函数 g(p)，定义为 g(p)=f(p)-f(-p)。所以如果 f 是温度，g(北极)=(北极的温度)-(南极的温度)。同样，g(南极)=(南极的温度)-(北极的温度)。
思考一下为什么 g(p)= -g(-p)。这很重要。因为如果 g(p)=0，那么我们就完成了，f(p)=f(-p)，因此我们有两个对跖点，它们具有相同的 f 值。如果 g(p) 不为零，那么它要么是正数，要么是负数。让我们假设是正数，不失一般性。这意味着 g(-p) 是负数。由于 f 是连续的，g 也必须是连续的，因此如果我们沿着从 p 到 -p 的路径移动，g 必须取 g(p) 和 g(-p) 之间的所有值。由于 g(p)>0 且 g(-p)<0，因此它们之间一定存在一个 q，使得 g(q)=0，这意味着 f(q)=f(-q)。
请注意，这与我们从 p 到 -p 采取的路径无关；因此，如果我们用一堆不同的路径来做这件事，我们将得到一个“环”的点，其中 f(q)=f(-q) 位于 p 和 -p 之间。我们知道它是一个环，而不是一堆奇怪的散点，因为 f 是连续的，因此 g 是连续的。由于 g 是连续的，如果我们稍微改变一下我们从 p 到 -p 采取的路径，g 的值应该只改变一点点 - 意味着 0 点不能突然跳得很远。所以让我们用 F 来表示这个曲线，其中 f(p)=f(-p)。
F 完全由对跖点组成，因此它将世界分隔成“半球”，就像赤道一样，尽管它们可能没有像赤道那样漂亮的“直线”边界。因此，这条曲线 F 具有一个有趣的特性，即它分隔了所有对跖点。我们将利用这一点来完成证明。
设 h(p) 为任何其他函数，并定义 j(p)=h(p)-h(-p)。出于与之前完全相同的原因，我们得到一个点环 q，其中 h(q)=h(-q) 位于 p 和 -p 之间。让我们称这条曲线为 H。由于 H 由对跖点组成，因此 F 必须与 H 相交，因为 F 分隔了任意两个对跖点。F 和 H 相交的点，我们称之为 r，必须有 f(r)=f(-r) 并且 h(r)=h(-r)，因为这就是分别在曲线 F 和 H 上的含义。因此，r 和 -r 是一对对跖点，具有相同的 f 值和相同的 h 值。用“温度”代替 f，用“压力”代替 h，你就完成了。
