维度不变性 Invariance of Dimension

hbghlyj

直觉告诉我们不可能把一张纸揉成一条线而不产生断裂或重叠。在数学的语言里，我们问的是：$\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 在什么条件下是同胚的？这个问题的答案由一个深刻的定理给出。
定理（维度不变性 Invariance of Dimension）
假设 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个开集，$V$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的一个开集。如果 $U$ 和 $V$ 都非空且同胚，那么它们的维度必须相等，即 $n=m$。

这个定理的一个直接应用就是：$\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 同胚，当且仅当 $n=m$。
听起来很基础，但证明它却出奇地困难。
在维度很低时，我们可以用简单的论据来理解。我们不妨假设 $n \leq m$。
当 $n=0$ 时：$\mathbb{R}^0$ 只是一个点 $\{0\}$。而任何 $\mathbb{R}^m$ ($m>0$) 都包含无穷多个点（是不可数集）。一个只有一个元素的集合和一个有无穷多元素的集合之间不可能建立一一对应，所以它们不可能是同胚的。
当 $n=1$ 时：假设我们有一个同胚映射 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^m$，其中 $m > 1$。
现在，我们从 $\mathbb{R}$ 上挖掉一个点，比如原点 $0$。根据一一对应，$f$ 也会将这个被“挖洞”的空间 $\mathbb{R}-\{0\}$ 映射到 $\mathbb{R}^m-\{f(0)\}$ 上。$$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}^m-\{f(0)\}$$这里矛盾就出现了。$\mathbb{R}-\{0\}$ 是一个不连通的空间（它被原点分成了两段）。然而，只要 $m>1$，从 $\mathbb{R}^m$ 中挖掉任何一个点，剩下的空间 $\mathbb{R}^m-\{f(0)\}$ 依然是连通的。一个不连通的空间无论如何也不可能与一个连通的空间同胚。因此，最初的假设是错误的，$\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{R}^m$ ($m>1$) 不可能同胚。

hbghlyj

上面的两个论证很难推广到更高维度。例如，从 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 中各挖掉一个点，它们剩下的空间都是连通的。我们需要为拓扑空间赋予代数不变量（在这里是“同调群”）。如果两个空间同胚，那么它们的同调群也必须同构。

让我们跟随这个思路，看看它是如何解决问题的。

假设存在一个同胚映射 $f: U \rightarrow V$，其中 $U \subseteq \mathbb{R}^n$, $V \subseteq \mathbb{R}^m$。

• 和 $n=1$ 的情况一样，我们从 $U$ 中选取一个点 $x$。这对应于 $V$ 中的点 $f(x)$。
• 我们考察一个叫做相对同调群 (relative homology groups) 的代数对象 $H_i(U, U-\{x\})$。这个群捕捉了空间 $U$ 在“去掉点 $x$”这个过程中的拓扑变化。
• 由于 $U$ 是一个开集，我们可以使用切除定理 (Excision Theorem)。该定理告诉我们，上述同调群只和点 $x$ 附近的局部性质有关，与 $U$ 的整体形状无关。因此，我们可以将其简化为研究整个空间的同调群 $H_i(U, U-\{x\}) \cong H_i(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n-\{x\})$。
• 通过代数拓扑中的“长正合序列”工具，可以证明上述同调群与一个更简单的对象同构：它同构于被挖掉一点的空间 $\mathbb{R}^n-\{x\}$ 的约化同调群 (reduced homology) $\tilde{H}_{i-1}(\mathbb{R}^n-\{x\})$。
• 挖掉一点的 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^n-\{x\}$ 和 $n-1$ 维球面 $S^{n-1}$ 同伦等价 (homotopy equivalence)，而同调群在同伦等价下保持不变。所以我们得到 $\tilde{H}_{i-1}(\mathbb{R}^n-\{x\})\cong \tilde{H}_{i-1}(S^{n-1})$。
• 球面的同调群是已知的。对于 $n-1$ 维球面 $S^{n-1}$，它的同调群 $H_i(S^{n-1})$ 在 $i=n-1$ 和 $i=0$ 时为 $\mathbb{Z}$，在其他所有维度 $i$ 上均为 $0$。

现在，我们可以把所有碎片拼起来了。
因为 $U$ 和 $V$ 是同胚的，它们的同调群在所有维度上都必须同构。这意味着：
$$H_i(U, U-\{x\}) \cong H_i(V, V-\{f(x)\}) \quad \text{for all } i \in \mathbb{N}$$
比较两边的结果，我们发现 $U$ 这边的同调群只在 $i=n-1$ 时为 $\mathbb{Z}$，而 $V$ 这边的同调群只在 $i=m-1$ 时为 $\mathbb{Z}$。要使它们在所有维度上都相等，唯一的可能性就是这两个为 $\mathbb{Z}$的维度必须是同一个，即：
$$n-1 = m-1$$由此得出$$n=m$$
这个结论完美地解决了我们的问题，证明了不同维度的欧几里得空间在拓扑上是不同的。