球面每个点p与其像f(p)的距离都在 1 以内，那么 f 是满射

hbghlyj

连续映射 $f:S^n\to S^n$ 满足对任意 $p\in S^n$ 有 $\|f(p)-p\|<1$。  
证明：$f$ 是满射。

hbghlyj

定义同伦
$h_t(p)=\frac{\,t\,p+(1-t)\,f(p)}{\|\,t\,p+(1-t)\,f(p)\|},h_0(p)=f(p)$；$h_1(p)=p$.
为保证分母非零，利用三角不等式：  
$$\|t\,p+(1-t)f(p)\|=\|f(p)+t(p-f(p))\|\ge\|f(p)\|-t\|p-f(p)\|=1-t\|p-f(p)\|>0$$
通过同伦可知 $\deg f=\deg(\text{id})=1$.  
若 $f$ 非满射，则取 $x\in S^n\setminus f(S^n)$，由于 $S^n\setminus\{x\}$ 是可缩的，复合后可得到 $f$ 的 nullhomotopy，故应有 $\deg f=0$，与前述 $\deg f=1$ 矛盾。